Operações com pares ordenados

Seja (x,y) o conjunto de todos os pares ordenados do plano cartesiano, onde x e y são números reais.

As seguintes definições são validas:

a) Igualdade: (a, b) = (c, d) $\iff$a = c e b = d

Ex.: (a, 4) = (3, b) $\iff$ a = 3 e b = 4.

b) Adição: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)

Ex.: (2, 5) + (7, 8) = (2 + 7, 5 + 8) = (9, 13).

c) Multiplicação: (a, b) . (c, d) = (ac - bd, ad + bc)

Ex.: (1, 2) . (3, 1) = (1 . 3 - 2 . 1, 1 . 1 + 2 . 3) = (1, 7).

Observe que todo par ordenado na forma (x, 0) pode ser representado pelo número real x, ou seja, x = (x, 0), para todo x real.

Exemplos: 

a) (2, 0) = 2

b) (3, 0) = 3

c) (2, 0) + (3, 0) = (5, 0) e 2 + 3 = 5

d) (2, 0) . (3, 0) = (2 . 3 - 0 . 0, 0 . 2 + 0 . 3) = (6, 0)  e 2 . 3 = 6 

Definição: chama-se conjunto dos números complexos, e representa-se por $\mathrm{ℂ}$, o conjunto de dos pares ordenados de números reais, definidos por:

$z\in \mathrm{ℂ}\iff z=(x ,y), sendo x e y reais$

dado o complexo z = (x, y), temos:

z = (x,y) = (x,0) + (0,y) = (x,0) + (y.0 - 0.1, y.1 + 0.0) = (x,0) + (y,0).(0,1), 

como (x,0) = x, (0,y) = y e (0,1) = i, podemos escrever: 

(x,y) = x + yi ou z = x + yi

Exemplos: (2,3) = 2 + 3i; (1,1) = 1 + i; (5,-2) = 5 - 2i

Todo número complexo pode ser escrito na forma z = x + yi, chamada forma algébrica. 

O número x é a parte real de z (x = Re(z)) e y é a parte imaginária de z (y = Im(z)).

Quando Im(z) = 0, z é um número real. Ex.: z = 3/5 e

quando Re(z) = 0 e Im(z) $\ne$0, z é um número imaginário puro. Ex.: z = 2i; z = -i; z = 2i/5

Igualdade entre númeos complexos 

Dois números complexos são iguals quando tanto a parte real deles quanto a parte imaginária forem iguais.

Isso significa que dados dois números complexos z = a + bi e z = c + di, teremos:

$z_1 = z_2 \iff a+bi = c+di \iff a=c e b=d$

Vamos resolver alguns exercícios:

1 - Vamos determinar x e y na igualdade (x - 3) + (y² - 1)i = 8i.

Vamos escrever o segundo membro da seguinte forma: 0 + 8i, para expressar sua parte real. Agora teremos:

$\left\{\begin{array}{l}x - 3 = 0\\ y²-1 = 8\end{array}\right.$

Resolvendo o sitema chegaremos a: x = 3 e y = -3 ou y = 3.

2 - Determine x e y de modo que x + (2y)i = 3 + 5i.

Vamos identificar as partes real e imaginaria.

$\left\{\begin{array}{l}x= 3\\ 2y = 5\end{array}\right.$

Resolvendo a segunda parte, teremos: y = 5/2

Operações com números complexos.

Adição: dados dois numeros reais z₁ = a + bi e z₂ = c + di, para efetuar a adição devemos somar, separadamente, as partes reais e as imaginárias deles.

z₁ + z₂ = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

Subtração: dados dois numeros reais z₁ = a + bi e z₂ = c + di, para efetuar a subtração devemos subtrair, separadamente, as partes reais e as imaginárias deles.

z₁ - z₂ = (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i

Vamos resolver alguns exercícios:

1) Calcule:

a) (10 + 3i) + (3 + 2i). Solução: (10 + 3) + (3i + 2i) = 13 + 5i

a) (10 - 3i) + (3 + 2i). Solução: (10 + 3) + (-3i + 2i) = 13 - i

b) (10 + 3i) - (3 + 2i). Solução: (10 - 3) + (3i - 2i) = 7 + i 

b) (-10 - 3i) - (3 - 2i). Solução: (-10 - 3) + (-3i - (-2i)) = -13 + (-i) = -13 - i 

Potência de i

Vamos calcular iⁿ para alguns valores de $n\in \mathrm{\mathbb{N}}$.  Observe:
 

Como vemos, os resultados se repetem para cada n multiplo de 4, então para calcular o valor da potencia de i para um expoente maior que 3, basta dividir o expoente por 4 e o novo expoente será o resto da divisão de n por 4, ou seja, para calcular iⁿ, n > 3, basta fazer i^r, onde r é o resto da divisão de n por 4.

Vamos resolver alguns exercícios:

1) Vamos calcular i⁷⁸.

Solução: 78/4 = 19 . 4 + 2, onde 2 é o resto da divisão. Então, calcular i⁷⁸ equivale a  i² = -1. Logo i⁷⁸ = -1.

2) Vamos calcular (-2i)⁸.

Solução: Primeiro vamos separar arrumar: (-2i)⁸ = [ (-2)⁸ . i⁸ ] = 256 . i⁸. Como i⁸ = i⁰ = 1, chegamos ao resultado: 256 . 1 = 256.

3) Vamos calcular i⁵⁵.

Solução: i²⁵ = i. Logo i²⁵ = i.

Multiplicação: dados dois números complexos, z₁ = a + bi e z₂ = c + di, para determinar z₃ = z₁ . z₂, devemos aplicar  apropriedade distribuitiva e depois reduzir os 'termos semelhantes' (vamos considerar: i² = -1, logo mias a frente explicaremos o porquê).

z₃ = (a + bi) . (c +di) = ac + adi + cbi + bdi². Como i² = -1.

z₃ = ac + (ad + cb)i + bd.(-1) = (ac - bd) + (ad + bc)i

Vamos resolver alguns exercícios:

1) Calcule:

a) (2 + 3i) . (1 + i). Solução: (1 . 2 - 2 . 1) + ( 2 . 1 + 3 . 1)i = (2 - 2) + (2 + 3)i = 0 + 5 = 5.

a) (1 + 3i)². Solução: (1 + 3i) . (1 + 3i) = (1 . 1 - 3 . 3) + (1 . 3 +  3.1)i = ( 1 - 9 ) + ( 3 + 3)i = -8 + 9i.

b) (1 - 3i)². Solução: (1 - 3i) . (1 - 3i) = (1 . 3 - (-3) . (-3) ) + ( (-3) . 1 +  (-3) . 1)i  = ( 3 - 9 ) + ( -3 - 3 )i = -6 - 6i.

b) (1 - i) . (1 + i). Solução: 1 . 1 + 1 . i - i . 1 - i . i = 1 + i  - i  - i² = 1 - (-1) = 2.

Conjugado de um número complexo

Dado um número complexo z = a + bi, o conjugado de z é o número complexo $\overline{z} = a - bi$, ou seja, basta trocar o sinal da parte imaginária.

O conjugado de um número complexo será usado na divisão de números complexos.

Divisão: Sejam dois números complexos z₁ = a + bi e z₂ = c + di, com z₂$\ne$0. Dividir z₁ por z₂ é obter um número complexo z₃ = x + yi tal que z₁/z₂ = z₃, isto é, z₁ = z₂ . z₃.

$$\begin{gathered} z_3 = \frac{z_1}{z_2}.\frac{{\overline{z}}_2}{{\overline{z}}_2} =\frac{(a + bi) . (c - di) }{(c + di).(c - di)} \\ {z}_3 = \left(\frac{ac + bd}{c^2 + d^2}\right) + i\left(\frac{bc - ad}{c^2 + d^2}\right). \end{gathered}$$

Para efetuar a divisão de números complexos, basta multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do número que está no denominador.

Vamos resolver alguns exercícios:

1) Vamos obter o conjugado dos números complexos:

a) z = 1 + i. Solução:  $\overline{z}$ = 1 - i

b) z = -4 - i. Solução:  $\overline{z}$ = -4 + i

2) Determine o número complexo que verifica a igualdade:

$2 . z +\overline{z} = \overline{-3 - 4i}$

 Solução: Fazendo z = a + bi, teremos:

2(a + bi) + (a - bi) = -3 + 4i => 3a +bi = -3 + 4i. Vamos calcular o valor de a: 3a = -3 => a = -1

O valor de b já está explícito: b = 4. Logo, z = -1 + 4.

3) $Efetuar a divisão de \frac{1 + i}{2 - i}.$

Solução: $\frac{1 + i}{2 - i} = \frac{(1+i)}{(2-i)}.\frac{(2+i)}{(2+i)}$

$\frac{1 + i}{2 - i} = \frac{1}{5} + \frac{3}{5}i$

4) Deterninar o valor real de x de modo que $z = \frac{1+21}{1-xi}$ seja imaginário puro.

Solução: $z = \frac{(1+i)}{1-xi}.\frac{1+xi}{1+xi}= \left(\frac{1-2x}{1+x^2}\right)+\left(\frac{x+2}{1+x^2}\right)i$

Para que z seja imaginário puro, devemos ter Re(z) = 0 Im(z) $\ne$0. Vamos pegar a parte real do número acima, vem:

$\frac{1-2x}{1+x^2} = 0 \Rightarrow x=\frac{1}{2}$

Substituindo o valor de x na parte imaginária de z é possível concluir que ambas as condições são satisfeitas.