Indução Matemática (parte II)

No texto Demonstração da Indução Matemática (parte I) demonstramos a implicação A0 => A. Agora mostraremos as outras duas (A=> Ae A2 =>A0).

Agora mostremos que A1 => A2. 

Seja C um conjunto de inteiros positivos satisfazendo as condições de A2. Devemos provar que C contém todos os inteiros positivos. 


[Demonstração] Denotaremos por Aa sentença: os inteiros de 1 a n inclusive estão em C. Por hipótese (veja A2 (i)) B1 é verdadeira. Considerando Bk verdadeira para um k qualquer, sendo K um inteiro positivo. Então os inteiros de 1 a k (inclusive) estão em C. Portanto, por hipótese (veja A2 (ii)), k+1 está em C e Bk+1 é verdadeira, pois não existe inteiro positivo entre outros dois inteiros consecutivos e como k e k+1 satisfazem essa condição e por A1 conclui-se que Bn é verdadeira para todo inteiro positivo n. Portanto, C contém todos os inteiros positivos. C.q.d 


Por fim mostremos que A2 => A0. 

Seja C um conjunto de inteiros positivos. Devemos mostrar que C possui elemento mínimo.

[Demonstração] Assumimos que C não possui em elemento mínimo e denotamos por Bn a sentença n não é um elemento de C. Logo B1 é verdadeira pois, 1 é o menor inteiro positivo (saiba porquê).

Assumimos, agora, Bn verdadeira para todo n de 1 a k inclusive. Disto podemos concluir que Bk+1 deve ser verdadeira, pois, caso contrário, k+1 seria o menor elemento de C (não existe inteiro entre k e k+1). Portanto, por A2, Bn é verdadeira para todo inteiro positivo n, o que é uma contradição, pois, isso implica que C é vazio contrariando a hipótese. Logo, C possui elemento mínimo. C.q.d

 

Algumas considerações

Devemos nos atentar para o fato de a Indução Matemática diferir da indução empírica (ou experimental) utilizada nas ciências naturais. Nessa última após um certo número (sempre finito) de ocorrências de um fenômeno é possível enunciar uma lei geral que governará o fenômeno em estudo até que se prove o contrário, esse tipo de raciocínio é chamado de raciocínio indutivo (de casos particulares concluem-se leis gerais). 

 

Entretanto a indução completa é usa o raciocínio dedutivo (de regras gerais concluem-se casos específicos) e é usada para estabelecer verdades matemáticas validas em conjuntos infinitos. Não basta mostrarmos que uma regra vale para um grande número de inteiros mas de provar que essa regra vale para todos os inteiros. Para exemplificar vejamos um exemplo.

 

1 - Seja P(n): n = n + (n-1).(n-2)...(n-1000). É evidente que P(1), P(2),...,P(1000), são verdadeiras e algum desavisado poderia concluir que essa regra vale para todos os números naturais, no entanto, para P(1001) é falsa.

 

2 – Considere a afirmação: Todo inteiro positivo pode ser escrito sob a forma a2 + p, onde a0 e p é um primo ou p=1. Essa afirmação é falsa pois 25 não pode ser escrito dessa forma.

 

>> Veja a parte I clicando aqui.

homem com camisa preta com a palavra novo escrita na frente, ao fundo uma televisão preta e um aparelho split de ar-condicionado

Everton Alves

Formado em Licenciatura em matemática, programador e apaixonado pela capoeira.

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