Teorema: Não existe inteiro positivo entre 0 e 1.

[Demonstração] Vamos supor que existe inteiro positivo entre 0 e 1. Daí, existe um conjunto não-vazio A de inteiros positivos tal que A = { x ∈ Z, 0 < x < 1 }. Como x₀ pertence a A, 0 < x₀ < 1, multiplicando as desigualdades por x₀, temos que: 0 < x_0² < x₀. Logo, x₀² pertence a A o que é uma contradição pois, x₀ é o menor elemento de A e portanto, não pode existir um elemento nesse conjunto que seja menor que x₀. Portanto, não existe inteiro positivo entre 0 e 1. Conclui-se também que 1 (um) é o menor inteiro positivo. C.q.d.

 

Corolário – 1: Não existe inteiro positivo entre dois número inteiro consecutivos.

[Demonstração] Suponhamos que existe um inteiro positivo x entre n e n+1, isto é, n < x < n+1, subtraindo n em ambas as desigualdades temos que: 0 < x-n < 1, que é uma contradição pois, pelo teorema anterior, não existe inteiro positivo entre 0 e 1. Logo, não existe inteiro positivo entre dois número inteiro consecutivos. C.q.d

 

Corolário – 2: Se x > 0 então x ≥ 1.

[Demonstração] Como x > 0 e pelo teorema acima conclui-se que x ≥ 1. C.q.d

 

Corolário – 3: Se x > y então x ≥ y + 1.

[Demonstração] Como x > y então x – y > 0. Daí, pelo corolário - 2, x - y ≥ 1 . Portanto, x ≥ y + 1. C.q.d

 

Proposição – 1: Sejam x,y inteiros e y diferente de zero então | x.y | ≥ | x |.

[Demonstração] Como y ≠ 0 então | y | > 0, pelo corolário - 2, | y | ≥ 1. Multiplicando | x |a ambos os membros: | x | | y | ≥ 1.| x |. Logo, | x.y | ≥ | x |. C.q.d

 

Proposição – 2: O conjunto vazio é limitado inferiormente.

[Demonstração] O conjunto vazio é limitado inferiormente por vacuidade, isto é, se Ø não for limitado inferiormente, para todo número inteiro K existiria x pertencente ao vazio tal que x < k.

 

Obs.: Ø não possui elemento mínimo.