Apesar do nome, que lembra um processo empírico, a Indução Matemática é um processo dedutivo que se apóia na Lógica Formal (ou Lógica tradicional), entende-se Lógica Matemática aquela baseada nos princípios da Identidade (p ↔ p – uma proposição é equivalente a ela mesma), Terceiro excluído (só admite dois valores lógico – falso ou verdadeiro) e Não contradição (Uma determinada proposição não pode ser ao mesmo tempo verdadeira e falsa).
A Indução Matemática (daqui por diante, nesse artigo, usaremos somente Indução para nos referir à Indução matemática) permite a prova de resultados importantes em Matemática. Mais especificamente, proposições referentes aos números naturais. Nesse artigo vamos entender o processo usado na indução Matemática, para isso lembremos que a Lógica tradicional reconhece como valida a seguinte forma de raciocínio hipotético:
Essa forma de raciocínio é conhecida como Modus Ponens (MP) e pode ser lida da seguinte maneira: “Da conjunção entre a implicação “P ⇒ Q” e seu antecedente podemos concluir o seu consequente”. Vejamos agora o que essa inferência tem a ver com a Indução.
Lembremos que a Indução é válida para os Naturais (N), sendo assim, dada uma determinada proposição (T), para provarmos que ela é verdadeira em N, basta provar as seguintes condições:
1) 1 (UM) possui a propriedade T.
2) Se todo número (n) tem a propriedade T então o seu sucessor (n+1) também a possui.
Analisando a questão (2), vemos que ela equivale à sequência infinita de enunciados, descrita abaixo:
(I) Se 1 tem a propriedade T então (1+1=2) também tem.
(II) Se 2 tem a propriedade T então (2+1=3) também tem.
(III) Se 3 tem a propriedade T então (3+1=4) também tem.
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(IV) Se n tem a propriedade T então (n+1) também tem.
Sabemos que o raciocínio acima é verdadeiro, pois, usando a proposição (1) e Modus Ponens concluímos (I). Isto é, sabemos que 1 possui a propriedade T portanto a condicional (I) é verdadeira. Simbolicamente, temos:
Usando o mesmo raciocínio, conclui-se também que (II), (III) são verdadeiras e aplicando MP indefinidamente concluímos que todos os naturais possuem a propriedade T.
Feito isso, associemos cada natural n a uma proposição P(n), (que pode ser verdadeira ou falsa). Notemos agora que se as condições, (i) P(1) é verdadeira; e (ii) P(n) é supostamente verdadeira, forem cumpridas e implicar a verdade de P(n+1) então P(n) será verdadeira para todo Nº Natural n.
Simbolicamente:
_____________________
∴ P(n+1)
Nesse texto considerou-se a Indução Matemática como um axioma, entretanto ela pode ser tratada como teorema e, evidentemente demonstrada. Para uma demonstração do princípio da indução Matemática clique aqui.
REFERENCIAS: As idéias contidas nesse texto foram retiradas do folhetim de Educação Matemática, número 47 de Fevereiro de 1996 do Núcleo de Educação Matemática Omar Catunda - Universidade Estadual de Feira de Santana/Bahia.
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