Estudar o sinal de uma função, é determinar para quais valores reais de x a função é positiva, negativa ou nula. A melhor maneira de se fazer isso, é através do gráfico, pois permite-nos uma avaliação mais ampla da situação.

A parábola pode tocar o eixo horizontal duas vezes, uma só vez ou não tocar esse eixo.

Tudo depende das raízes da equação y = ax² + bx + c.

26 - Seja a equação ax²+bx+c = 0. Dividindo ambos os membros por a ≠ 0, vem:

x² + (b/a)x + (c/a) = 0, Sendo x₁ e x₂ as raízes, temos as seguintes fórmulas para a soma S e o produto P das raízes:

S = x₁ + x₂ = -b/a e P = x₁ . x₂ = c/a.

Ora, poderemos escrever então: S = -b /a => -S = b/a.

Substituindo os valores de b/a e c/a na equação acima, vem finalmente: x² – Sx + P = 0, que é a forma (S,P) da equação do 2º grau.

Esta maneira de apresentar a equação do 2º grau é bastante conveniente, uma vez que permite conhecer a soma das raízes e o produto das raízes, sem resolver a equação. Este fato, facilita até a solução mental da equação, sem aplicação da fórmula de Bhaskara.

Exemplos: Verifique, mentalmente, as raízes das equações abaixo:

a) x² – 5x + 6 = 0
Soma das raízes = S = 5 e Produto das raízes = P = 6
Ora, os números que somados dá 5 e multiplicados dá 6, são 2 e 3 que são as raízes da equação.

b) x² – x – 12 = 0

S = 1 e P = -12. Os números que somados é igual 1 e multiplicados dá - 12 são: 4 e –3.

c) x² +3x - 4 = 0
S = - 3 e P = -4. Então: as raízes da equação são, –4 e 1.

d) x² + x - 999000 = 0
S = -1 e P = -999000. Então: as raízes são, -1000 e 999.

e) x² – (1+ √3)x + √3 = 0. R: as raízes são, 1 e √3.

Com a forma (S,P) da equação do 2º grau [x² – Sx + P=0], podemos resolver o problema inverso da determinação das raízes, ou seja, compor a equação cujas raízes são conhecidas.

Exemplo 1: Qual a equação do 2º grau cujas raízes são 10 e 78?
Temos: S = 10+78 = 88 e P = 10.78 = 780
Logo, a equação é: x² – 88x + 780 = 0.

Exemplo 2: Qual a equação cujas raízes são -4 e 100?
Temos: S = -4 + 100 = 96 e P = -4(100) = -400
Logo, a equação procurada é x² - 96x – 400 = 0.

Exemplo 3: Qual a equação cujas raízes são w -1 e w+1?
Temos: S = w –1 + w + 1 = 2w => P = (w –1)(w+1) = w²-1
Logo, a equação procurada é: x² – 2wx + w² – 1 = 0.

Agora resolva, mentalmente, a equação x² + 100x – 60000 = 0. R: -300 e 200.

Exercícios Resolvidos

1 – [Ucsal] – Sabe-se que -2 e 3 são raízes de uma função quadrática. Se o ponto (-1, 8) pertence ao gráfico dessa função, então:

a) o seu valor máximo é 1,25

b) o seu valor mínimo é 1,25

c) o seu valor máximo é 0,25
d) o seu valor mínimo é 12,5

e) o seu valor máximo é 12,5.

Solução: Sabemos que a função quadrática pode ser escrita na forma fatorada: y = a(x - x₁)(x - x₂), onde x₁ e x₂, são os zeros ou raízes da função.

Portanto, poderemos escrever:

y = a [ x -(- 2) ](x - 3)= a(x + 2)(x – 3)

y = a(x + 2)(x – 3)

8 = a(-1 + 2)(-1 – 3)

8 = a (1)(-4) = 4.

Daí vem: a = -2.

A função é, então:

y = -2(x + 2) (x - 3), ou

y = (-2x -4) (x – 3) 

y = -2x² + 6x - 4x + 12 

y = -2x² + 2x + 12.

Temos então: a = -2, b = 2 e c = 12.

Como a é negativo, concluímos que a função possui um valor máximo. Isto já elimina as alternativas B e D.

Vamos então, calcular o V_máx da função:

$$\begin{gathered} \Delta = b^2 - 4.a.c \\ \Delta = 2^2 - 4.(-2).12 \\ \Delta = 4 + 96 = 100 \end{gathered}$$

Portanto,

$y_v = \frac{100}{4.(-2)} = \frac{100}{8} = 12,5$

2 – Que número excede o seu quadrado o máximo possível?
a) 1/2

b) 2

c) 1

d) 4

e) -1/2

Solução: Seja x o número procurado. O quadrado de x é x².O número x excede o seu quadrado, logo: x - x². Ora, a expressão anterior é uma função quadrática y = x - x². Podemos escrever: y = - x² + x onde a = -1, b = 1 e c = 0. O valor procurado de x, será o x_v (abcissa do vértice da função). Assim, x_v = - b/2.a = -1/2(-1) = 1/2. Logo, a alternativa correta é a letra A.

3 – Se $f\left(x\right) = \frac{1}{x(x + 1)}, com x\ne 0 e x\ne -1$, então o valor de S = f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(100) é:

a)100

b) 101

c) 100/101

d) 101/100

e) 1

Solução: Temos: $f\left(x\right) = \frac{1}{x(x + 1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1}$. Portanto:
$$\begin{gathered} f\left(1\right) = \frac{1}{1} - \frac{1}{2} \\ f\left(2\right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \\ f\left(3\right) = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \\ f\left(4\right) = \frac{1}{4} - \frac{1}{5} \\ f\left(5\right) = \frac{1}{5} - \frac{1}{6} \\ ⋮ \\ f\left(99\right) = \frac{1}{99} - \frac{1}{100} \\ f\left(100\right) = \frac{1}{100} - \frac{1}{101} \end{gathered}$$

Somando membro a membro as igualdades acima (observe que os termos simétricos que se anulam entre si), vem:

$$\begin{gathered} f\left(1\right) + f\left(2\right) + f\left(3\right) + \cdots + f\left(100\right) = \\ 1 - \frac{1}{101} = \frac{100}{101} \end{gathered}$$

4 – Ucsal – Sejam f e g funções de R em R, sendo R o conjunto dos números reais, dadas por f(x) = 2x - 3 e f(g(x)) = -4x + 1. Nestas condições, g(-1) é igual a:

a) –5

b) –4

c) 0

d) 4

e) 5

Solução: Como f(x) = 2x - 3, podemos escrever: f[g(x)] = 2 . g(x) - 3 = - 4x + 1
Logo,

2.g(x) = - 4x + 4 

g(x) = -2x + 2.

Assim, g(-1) = -2.(-1) + 2 = 4.

5 - O conjunto imagem da função y = 1 / (x - 1) é o conjunto:

a) R - { 1 }

b) [0,2]

c) R - {0}

d) [0,2)

e) (-2 ,2]

Solução: Se y = 1 / (x - 1), então x - 1 = 1 / y. Como o conjunto imagem é o conjunto dos valores de y, percebemos que y não pode ser nulo, pois não existe divisão por zero. Logo, R - {0}.

6 - Determine o domínio da função y = (x+1) / (x - 2).

Solução: Como não existe divisão por zero, vem imediatamente que: x - 2 ≠ 0 <=> x≠2. Logo, o domínio da função será D = R - {2}, onde R é o conjunto dos números reais.

7 – Seja f uma função tal que f(n + 1) = [(2.f(n) + 1)] / 2 para todo n inteiro positivo e f(1) = 2. Nestas condições, o valor de f(101) é:

(a) 102

(b) 101

(c) 86

(d) 76

(e) 52

Solução: Teremos, fazendo n = 1, 2, 3, 4, ... na expressão $f(n + 1) = \frac{2.f\left(n\right) + 1}{2}$:

n = 1 ? f(1 + 1) = f(2) = [2.f(1) + 1] / 2 = [2.2 + 1] / 2 = 5 / 2
n = 2 ? f(2 + 1) = f(3) = [2.f(2) + 1] / 2 = [2.(5 / 2) + 1] / 2 = 3
n = 3 ? f(3 + 1) = f(4) = [2.f(3) + 1] / 2 = [2.3 + 1] / 2 = 7 / 2
n = 4 ? f(4 + 1) = f(5) = [2.f(4) + 1] / 2 = [2.(7 / 2) + 1] / 2 = 4
...........................................................................................................
Vamos resumir os valores obtidos acima:
f(1) = 2 = 4 / 2
f(2) = 5 / 2
f(3) = 3 = 6 / 2
f(4) = 7 / 2
f(5) = 4 = 8 / 2
….........................................................................................................

Observe que o denominador é sempre 2 e o numerador é o valor de n acrescido de 3 unidades, pois:
f(1) = 4 / 2 e 4 = 1 + 3
f(2) = 5 / 2 e 5 = 2 + 3
f(3) = 6 / 2 e 6 = 3 + 3
f(4) = 7 / 2 e 7 = 4 + 3
f(5) = 8 / 2 e 8 = 5 + 3

…........................................................................................................
Observe que a lei de formação para um n inteiro positivo qualquer será então f(n) = (n + 3)/2
Portanto, o valor de f(101) será obtido fazendo n = 101, o que resulta:
f(101) = (101 + 3) / 2 = 104 / 2 = 52

27 – Exercícios Propostos

1 – Seja f uma função tal que f(n + 1) = [(2.f(n) + 1)] / 2 para todo n inteiro positivo e f(1) = 2. Nestas condições, determine o valor de f(105) + f(109). Resposta: 110

^{2 – [PUC] Se f é uma função tal que f(1) = a, f(?) = b e f(x + y) = f(x) . f(y), ? x, y ? R, então f(2 + ?) é igual a:}

^{a) a b) b} c) a²b d) ab^{2 e) a + b}

3 – [UFBA] Se f (g (x) ) = 5x - 2 e f (x) = 5x + 4 , então g(x) é igual a:
a) x – 2 b) x – 6 *c) x - 6/5 d) 5x - 2 e) 5x + 2

4 - A função f é tal que f(2x + 3) = 3x + 2. Nestas condições, f(3x + 2) é igual a:
a) 2x + 3 b) 3x + 2 c) (2x + 3) / 2 *d) (9x + 1) /2 e) (9x - 1) / 3

5 – Qual o domínio da função y = (x - 4)^1/4? Resp: D = [4, +? ).

6 – Qual o conjunto imagem da função y = 1/x? Resp: Im = R – {0}.

7 – Qual o domínio da função y = (senx)/x? Resp: D = R – {0}.

8 – Sendo f(x) = senx e g(x) = logx, pede-se determinar o valor de g[f(? /2)]. Resp: 0

9 - Seja f uma função definida para todo x real, satisfazendo as condições:

f(3) = 2 e f(x+3) = f(x).f(3)

10 – Dadas as funções f(x)= 4x + 5 e g(x) =2x - 5k, ocorrerá gof(x)= fog(x) se e somente se k for igual a:

a) -1/3 b) 1/3 c) 0 d) 1 e) –1

11 – A diferença entre dois números é 8. Para que o produto seja o menor possível, um deles deve ser:

a) 16 b) 8 c) 4 d) –4 e) -16

12 - A diferença entre dois números é 8. O menor valor que se pode obter para o produto é:

a) 16 b) 8 c) 4 d) –4 e) –16

13 – A função f é definida por f(x) = ax + b. Sabe-se que f(-1) = 3 e f(3) = 1, então podemos afirmar que f(1) é igual a:

a) 2 b) –2 c) 0 d) 3 e) –3