Definição: O terno (x,y,z) chama-se terno pitagórico se e somente se x,y,z forem inteiros positivos tais que x² + y² = z².

Teorema – 1: (x,y,z) é um terno pitagórico se e somente se existirem inteiros positivos u e v, u>v, de igual paridade, tais que u.v seja um quadrado perfeito e (x,y,z) = (√uv, (u-v)/2, (u+v)/2).

Exemplo: u=9 e v=1, 9>1, 9 e 1 são ímpares e 9.1 = 9(quadrado perfeito). (x,y,z) = (√9.1, (9-1)/2, (9+1)/2) = (3,4,5). Daí, 3² + 4² = 5² ⇒ 9 +16 = 25.

Demonstração:

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Suponha que (x,y,z) seja um terno pitagórico. Então, por definição, x² + y² = z² <=> x² = z² – y² = (z-y)(z+y). Sejam u = z + y e v = z – y. Então: 1 – u.v é um quadrado perfeito; 2 – u e v são inteiros positivos de mesma paridade, pois z e y são inteiros positivos e z > y; 3 – u > v, pois z + y > z – y; 4 – De u = z + y e v = z – y, tirando os valores de z e y em função de u e v, teremos: z = u – y e z = v + y => 2z = u + v => z = (u + v)/2. y = u – z e y = -v + z => 2y = u – v => y = (u-v)/2. x² = z² – y² = (z-y)(z+y) = u.v de modo que x = √uv.

(<=)

Suponha que u e v sejam inteiros positivos de mesma paridade u > v e que u.v seja um quadrado perfeito. Fazendo, x = √uv; y = (u-v)/2; z = (u + v)/2. Temos:

1 – a é um inteiro positivo pois u.v é um quadrado perfeito;

2 – y e z são inteiros positivos, pois u – v e u + v são ambos pares (lembre-se que u e v tem a mesma paridade e u > v)

3 – x² + y² = (√uv) + [(u-v)/2]² = (u.v + u² – 2uv + v²)/4 = (u+v)² = c². C.q.d.

Observações:

1 – Se u e v forem primos entre si então o terno (√uv, (u-v)/2, (u+v)/2) gerado por eles é primitivo, pois todo fator comum de (u-v)/2 e (u+v)/2 é também um fator comum de u e v. Entretanto, a reciproca não é verdadeira. Isto é, (√uv, (u-v)/2, (u+v)/2) pode ser um terno primitivo mesmo que u e v não sejam primos entre si.

Exemplo: Tomemos u=8 e v=2. Substituindo, (√16, 6/2,10/2) = (4,3,5). Mas, MDC(8,2) ≠ 1.

Exercício Resolvido

1 – Determine todos os triângulos pitagóricos que têm um cateto a = 12.

Solução: Elevamos 12 ao quadrado. Depois fatoramos 12² como produto de dois inteiros positivos (u e v) , distintos e de mesma paridade (12² = 144 = 72x2 = 36x4 = 24x6 = 18x8).

Portanto, existem 4 triângulos pitagóricos com catetos de comprimento 12. O comprimento do lado desses triângulos são dados por (12,35,37); (12,16,20); (12,9,15); (12,5,13).

Observação:

Para qualquer inteiro a > 2, a² pode ser escrito como um produto de dois inteiros positivos distintos, u e v, de mesma paridade (Se a for impar, fazemos u=a² e v=1; se a for par, fazemos u=a²/2 e v=2). Assim, dado um inteiro qualquer a>2, existe pelo menos um triângulo pitagórico com um cateto de comprimento a. E o processo descrito acima dará todos os triângulos com estas características.

REFERÊNCIAS

NEVES, Vítor. Introdução à Teoria dos Números. Disponível em: http://www.mat.ua.pt/ pessoais/vneves/itn/itn.pdf. Acessado em: 12 ago. 2009.

ROTHBART, Andrea. PAULSELL, Bruce. Números Pitagóricos: uma fórmula de fácil dedução e algumas aplicações geométricas. Revista do Professor de Matemática. n.7. p. 49-51. jun/jul. 1985.