Os exercícios abaixo são demonstrados usando a seqüência: 
(1) Verificar se a propriedade é válida para um certo valor de “n”
(2) Supor a propriedade válida para “n”. (hipótese de recorrência)
 (3)  Provar que a propriedade é válida para “n + 1”

1 – Demonstrar por “indução matemática”: 

(a)  1² + 2² + 3² + ... + n² = (n/6)(n + 1)(2n + 1) , "n é n° natural".

SOLUÇÃO: 
(1) Para n = 1 (1/6)(1 + 1)(2 + 1) = (1/6)(2)(3) = (1/6)(6) = 1 = 1².
(2) Hipótese: 1² + 2² + 3² + ... + n² = (n/6)(n + 1)(2n + 1).
(3) Provar 1² + 2² + 3² + ... + n² + (n + 1)² = [(n+1)/6](n + 2)(2n + 3) 

Demonstração:  
1² + 2² + 3² + ... + n² + (n + 1)² = (n/6)(n + 1)(2n + 1) + (n + 1)² =
= (n/6)(n + 1)(2n + 1) + (n + 1)² (observe que a soma até n² é (n/6)(n + 1)(2n + 1) è
è1² + 2² + 3² + ... + n² + (n + 1)² = (n +1)[(n/6)(2n + 1) + (n + 1)] =
= (n + 1)(1/6)(2n² + n + 6n + 6) = (n + 1)(1/6)(2n² + 7n + 6) * =
 = (n + 1)(1/6).2(n + 3/2) .(n + 2) = [(n + 1)/6](n + 2)(2n + 3)   c.q.d.

* Nota:- O polinômio ax² + bx + c, com raízes x₁ e x₂ pode ser decomposto em a(x – x₁)(x – x₂).
Como as raízes de 2n² + 7n + 6 são –2 e –3/2, temos 2n² + 7n + 6 = 2.(n + 3/2)(n + 2). 

 

(b) 1³ + 2³ + 3³ + ... + n³ = (n²/4)(n + 1)²,  "n é n° natural".

SOLUÇÃO: 
(1) Para n = 1, temos: 1³ = 1 e (12/4)(1 + 1)2 = (1/4)(4) = 1.
Portanto, a propriedade é válida para n = 1.
(2) Hipótese 1³ + 2³ + 3³ + ... + n³ = (n²/4)(n + 1)²
(3) Provar 1³ + 2³ + 3³ + ... + n³ + (n + 1)³ = [(n+1)²/4](n + 2)².

 

Demonstração:
1³ + 2³ + 3³ + ... + n³ + (n + 1)³ = (n²/4)(n + 1)² + (n + 1)³ =
= [(n + 1)²].[(n²/4) + (n + 1)] = [(n + 1)²].(1/4)(n² + 4n + 4) =
= [(n + 1)²/4](n + 2)²   c.q.d.

 

(c) 1² + 3² + 5² + ..... + (2n – 1)² = (n/3)(4n² – 1) ,  "n é n° natural".

SOLUÇÃO:
(1) Para n = 1, temos: 12 = 1 e (1/3)(4.12 – 1) = 1.
O que mostra ser a propriedade verdadeira para n = 1 .
(2) Hipótese:
1² + 3² + 5² +...+ (2n – 1)² = (n/3)(4n² – 1) = (1/3) (4n³ + 12n² + 11n + 3)
(3) Demonstrar que
1² + 3² + 5² + (2n – 1)² + (2n + 1)² = [(n + 1)/3)[4(n + 1)² – 1] =
= (1/3)(n + 1)[4n² + 8n + 3] = (1/3)(4n3 + 12n2 + 11n + 3).

Demonstração:
1² + 3² + 5² +..... + (2n – 1)² + (2n + 1)² = (n/3)(4n² – 1) + (2n + 1)² =
= (n/3)(2n + 1)(2n – 1) + (2n + 1)² = (2n + 1)[(n/3)(2n – 1) + (2n + 1)] =
= [(2n + 1)/3](2n² – n + 6n + 3) = [(2n + 1)/3][2n² + 5n + 3] =
= (1/3)(4n³ + 12n² + 11n + 3) . c.q.d.

 

 

(d) 1³ + 3³ + 5³ + ... + (2n – 1)³ = n².(2n² – 1) ,  "n é n° natural".

SOLUÇÃO:
(1) Para n = 1, temos 1³ = 1 e 1³.(2.1³ – 1) = 1.(2 – 1) = 1.
O que mostra ser a propriedade verdadeira para n = 1.
(2) Hipótese: 1³ + 3³+ 5³ + ... + (2n – 1)³ = n².(2n² – 1) .
(3) Provar que 1³ + 3³ + 5³ + ... + (2n – 1)³ + (2n + 1)³ =
=(n + 1)².[2.(n + 1)² – 1] = (n + 1)².(2n² + 4n + 2 – 1) =
= (n + 1)².(2n² + 4n + 1) = 2n⁴ + 8n³ + 11n² + 6n + 1

Demonstração:
1³ + 3³ + 5³ + ... + (2n – 1)³ + (2n + 1)³ = n².(2n² – 1) + (2n +1)³ =
= 2n⁴ – n² + 8n³ + 12n² + 6n + 1 = 2n⁴ + 8n³ + 11n² + 6n + 1. c. q. d. 

  

(e) 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n(n + 1) = (n/3)(n + 1)(n + 2),  "n é n° natural".

SOLUÇÃO:
(1) Para n = 1: 1.2 = 2 e (1/3)(1 + 1)(1 + 2) = (1/3)(2)(3) = 2.
O que mostra ser a propriedade verdadeira para n = 1.
(2) Hipótese: 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n(n + 1) = (n/3)(n + 1)(n + 2)
(3) Provar que:
1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n(n + 1) + (n + 1)(n + 2) = [(n + 1)/3](n + 2)(n + 3).

Demonstração:
1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n(n + 1) + (n + 1)(n + 2) =
= (n/3)(n + 1)(n + 2) + (n + 1)(n + 2) = (n + 1)(n + 2)[(n/3) + 1] =
 = (n + 1)(n + 2)[(n + 3)/3] = [(n + 1)/3](n + 2)(n + 3). c. q. d.

(f) 1 + 1/4 + 1/9 + ... + 1/n² < 2 – 1/n ,  "n é n° natural".

SOLUÇÃO:
(1) Para n = 1: 2 – 1/1 = 1 < 1. Verdadeira para n = 1.
(2) Hipótese: 1 + 1/4 + 1/9 + ... + 1/n² < 2 – 1/n ,  "n é n° natural".
(3) Provar: 1 + 1/4 + 1/9 + ... + 1/n² + 1/(n + 1)² < 2 – 1/(n + 1).

Demonstração:
1 + 1/4 + 1/9 + ... + 1/n² < 2 – 1/n
Somando 1/(n + 1)² aos dois membros da desigualdade, resulta:
1 + 1/4 + 1/9 + ... + 1/n² + 1/(n + 1)² < 2 – 1/n + 1/(n + 1)² (1)
Temos que:
[(1/n) –1/(n + 1)²] = [(n + 1)² - n]/[n.(n + 1)] = [(n² + n + 1)]/[n(n + 1)²]. (2)
Porém:
[(n² + n + 1)]/[n(n + 1)²] > (n² + n)/n(n + 1)² = [n.(n+1)]/[n.(n+1)²] = 1/(n + 1) (3)
De (2) e (3) 2 – [(1/n) –1/(n + 1)²] < 2 - 1/(n +1) (4).
Portanto, de (1) e (4), por transitividade,
1 + 1/4 + 1/9 + ... + 1/n² + 1/(n + 1)² < 2 - 1/(n +1). cqd. 

 

(g) a + aq + aq² + ... + aqⁿ = a(q^{n + 1} – 1)/(q – 1) (q ¹ 1) ,  "n é n° natural".

SOLUÇÃO:
(1) Para n = 2: S = a + aq + aq² .(1)
Temos ainda que: S = a(q²⁺¹ – 1)(q – 1) = a(q³ – 1)/(q – 1) =
= a(q² + q + 1)(q – 1)/(q – 1) = aq² + aq + a = a + aq + aq². (2)
De (1) e (2)conclui-se que: a igualdade é válida para n = 2.
(2) Hipótese a + aq + aq² + ... + aqⁿ = a(q^{n + 1} – 1)/(q – 1)
(3) Provar que a + aq + aq² + ... + aqⁿ + aq^{n + 1} = a(q^{n + 2} – 1)/(q – 1)

Demonstração:
a + aq + aq² + ... + aqⁿ + aq^{n + 1} = a(q^{n + 1} – 1)/(q – 1) + aq^{n + 1} = [aqⁿ⁺¹ – a + aqⁿ⁺¹(q – 1)]/(q – 1) =
= (aq^{n + 1} – a + aq^{n + 2} – aqⁿ⁺¹)/(q – 1) = (aqⁿ⁺² – 1)/(q – 1). c.q.d