Teoria dos números - Exercícios de Divisão Euclidiana

01 – Usando o algoritmo de Euclides, determinar: 

(a) mdc(306, 657)
Neste primeiro exercício usaremos o processo das divisões sucessivas para que se possa entender os valores dispostos no quadro do algoritmo de Euclides.
Pelo processo das divisões sucessivas, temos
657 = 306.2 + 45
306 = 45.6 + 36
45 = 36.1 + 9
36 = 9.4 + 0, como o resto é zero, mdc(306, 657) = 9.
 Pelo algoritmo de Euclides teremos:

(d) mdc(-816, 7209) 

mdc(-816, 7209) = mdc(816, 7209) = 3.


(e) mdc(7469, 2387)

  

(f) mdc(-5376,-3402) 

mdc(-5376,-3402) = mdc(5376, 3402)

mdc(-5376, -3402) = 6 

 

02 – Usando o algoritmo de Euclides, determinar: 


Observação: não apresentaremos os cálculos por serem semelhantes aos dos exercícios anteriores. 


(a) mdc(624, 504, 90). Pelo processo anterior acha-se o mdc(624, 504) que é  24. A seguir acha-se o mdc(24, 90) que é 6. Resposta: 6 


(b) mdc(285, 675, 405). mdc(285, 675) = 5; mdc(5, 405) = 5.   Resposta: 5. 


(c) mdc(209, 299, 102). mdc(209, 299) = 1  e mdc(1, 102) = 1. Resposta:- 1. 


(d) mdc(69, 398, 253). mdc(69, 398) = 23   e mdc(23, 253) = 23. Resposta: 23 

 



03 – Usando o algoritmo de Euclides, achar os inteiros x e y que verifiquem cada uma das seguintes igualdades:


Observação: usaremos sentenças de mesma cor para indicar a origem dos dados substituídos. 


(a) mdc(56, 72) = 56x + 72y
mdc(56, 72) = 8  resolver 8 = 56x + 72y
72 = 56.1 + 16 
56 = 16.3 + 8 
 16 = 8.2 + 0

Tomando a penúltima igualdade;
8 = 56 – 16.3. Tirando o valor de 16 na primeira igualdade e substituindo na penúltima:
8 = 56 – (72 – 56.1).3 ⇒ 8 = 56 + 56.3 – 72.3
 8 = 56.4  + 72(-3). Portanto, x = 4 e y = -3.

(b) mdc(24, 138) = 24x + 138y
mdc(24, 138) = 6  resolver 6 = 24x + 138y
138 = 24.5 + 18
24  = 18.1 + 6 
  18 =    6.3  + 0  (mdc = 6)

6 = 24 – 18.1 
6 = 24 – (138 – 24.5).1
6 = 24 + 24.5 – 138.1
 6 = 24.6 + 138(-1)
   x = 6  e  y = -1

(c) mdc(119, 272) 
Mdc(119, 272) = 17
272 = 119.2 + 34
119 =   34.3 + 17 
 34 =   17.2  + 0

17 = 119 – 34.3 
17 = 119 – (272 – 119.2).3 = 119.7 – 272.3
17 = 119.7 + 272(-3) . Portanto, x = 7 e y = -3 

(d) mdc(1769, 2378) = 1769x + 2378y 
mdc(1769, 2378) = 29
2378 = 1769 .1 + 609 
1769 = 609.2 + 551
609 =   551.1 +   58 
551 =     58.9 +   29 
 58 =     29.2 +     0

29 = 551 – 58.9 
29 = 551 – (609 – 551.1) = 551.2 – 609
29 = (1769 – 609.2).2 – 609 = 1769. 2 – 609.5
29 = 1769.2 – (2378 – 1769.1).5
 29 = 1769.7 + 2387(-5)    
 x = 7 e y = -5. 

 

04 – Achar os inteiros x e y que verifiquem cada uma das seguintes igualdades: 

(a) 78x + 32y = 2.
78 = 32.2 + 14
32 = 14.2 + 4
14 = 2.7 + 0
 2 = 32 – 14.2  2 = 32 – (78 – 32.2)2 ⇒ 2 = 32.5 + 78.(-2) ⇒ x = 5 e y = -2. 

 

(b) 104x + 91y = 13
104 = 91.1 + 13
 91 =  13.7 + 0
 13 = 104 – 91.1  13 = 104.(1) + 91.(-1) ⇒ x = 1 e y = -1 


(c) 31x + 19y = 7
mdc(31, 19) = 1
31 = 19.1 + 12
19 = 12.1 + 7
12 = 7.1 + 5
7 = 5.1 + 2
 5 = 2.2 + 1
 mdc(31, 19) = 1
 1 = 5 – 2.2
 1 = 5 – (7 – 5.1)2  1 = 5.3 – 7.2  1 = (12 – 7.1)3 – 7.2  1 = 12.3 – 7.5  1 = 12.3 – (19 – 12.1).5  1 = 12.8 – 19.5  1 = (31 – 19.1).8 – 19.5  1 = 31.8  + 19(-13)  
7 = 31.(8.7) + 19.(-13.7)  7 = 31.(56) + 19.(-91) ⇒ x = 56 e y = -91 

 

(d) 42x + 26y = 16.
42 = 26.1 + 16
26 = 16.1 + 10
16 = 10.1 + 6
10 = 6.1 + 4
6 = 4.1 + 2
 4 = 2.2 + 0
 mdc(42, 26) = 2.
 2 = 6 – 4.1
 2 = 6 – (10 – 6.1).1  2 = 6.2 – 10.1  2 = (16 – 10.1)2 – 10.1  2 = 16.2 – 10.3  2 = 16.2 – (26 – 16.1)3  2 = 16.5 – 26.3   2 = (42 – 26.1)5 – 26.3  2 = 42.5  + 26(-8)  16 = 8.2  = 42.(5.8) + 26.(8.-8)  42.(40) + 26.(-64)  x = 40 e y = -64 

 

(e) 288x + 51x = 3.
 288 = 51.5 + 33    
 51 = 33.1 + 18    33 = 18.1 +   15   18 =   15.1 +  3    15 =  3.5 + 0  mdc(288, 51) = 3.
 3 = 18 – 15.1
 3 = 18 – (33 – 18.1).1  3 = 18.2 – 33  3 = (51 – 33.1).2 – 33  3 = 51.2 – 33.3  3 = 51.2 – (288 – 51.5).3  3 = 288.(-3) + 51.(17) ⇒ x = -3 e y = 17. 


(f) 52x + 13y = 1
 52 = 13.4 + 0
 1 = 52.1 + 13.(-4) ⇒ x = 1 e y = 4. 


(g) 145x + 58y = 87
  145 = 58.2  + 29  
 58 = 29.2 + 0  mdc(145, 58) = 29
 29 = 145 – 58.2  = 145.(1) + 58.(-2)
 87 = 29.3 = 145.(1.3) + 58.(-2.3)  87 = 145.(3) + 58.(-6) ⇒ x = 3 e y = -6 

 

(h) 17x + 5y = -2
 17 = 5.3 + 2
 5 = 2.2 + 1  mdc(17,5) = 1
 1 = 5 – 2.2
 1 = 5 – (17 – 5.3).2  1 = 5.7 – 17.2 1 = 5.(7) + 17.(-2)  -2 = -2.1 = 5.(7.-2) + 17.(-2.-2)  -2 = 5.(-14) + 17.(4) ⇒  x = -14 e y = 4. 

 

05 – Achar os inteiros x, y e z que verifiquem cada uma das seguintes igualdades

 (a) 11x + 19y + 3z = 1. 

Em situações como essa em que aparecem três variáveis, atribui-se um valor inteiro para uma delas de modo que o segundo membro seja  múltiplo do mdc dos outros dois coeficientes e aplica-se o procedimento normal para dois números. 

Como mdc(11, 19) = 1, qualquer valor escolhido para z, 1 – 3z será múltiplo de 1. Assim, fazendo z = 1, temos 11x + 19y + 3 = 1  11x + 19y = -2.
 19 = 11.1 + 8
 11 = 8.1 + 3  8 = 3.2 + 2  3 = 2.1 + 1  mdc(11, 19) = 1
 1 = 3 – 2.1
 1 = 3 – (8 – 3.2).1  1 = 3.3 – 8.1  1 = (11 – 8.1)3 – 8.1  1 = 11.3 – 8.4  
 1 = 11.3 – (19 – 11.1)4 1 = 11.(7) + 19.(-4) -2 = 11.(7.-2) + 19.(-4.-2) -2 = 11.(-14) + 19.(8)  x = -14, y = 8 e z = 1. 

Como o procedimento é o mesmo, deixamos a cargo do aluno a resolução dos itens b e c. Deve-se tomar cuidado na escolha do valor para uma das variáveis pois ao passá-la para o segundo membro o resultado da operação deverá ser um múltiplo do mdc das outras duas variáveis. Uma escolha inadequada não permitirá encontrar os valores para as outras duas. 

 

(b) 56x + 6y + 32z = 2.  
Mdc(56, 6) = 2
Pode-se escolher z = -1 pois 2 – 32z = -34 e – 34 é múltiplo de 2


(c) 6x + 3y + 15z = 9.
Mdc(6, 3) = 3.
 6x + 3y = 9 – 15z .
Como 9 – 15z deve ser múltiplo de 3, qualquer valor de z faz 9 – 15z múltiplo de 3. Fazendo então z = -3, resultará x = 18 e y = - 18.
 

(d) 14x + 7y + 21z = 4. 
 Mdc(14, 7, 21) = 7. Como 4 não é múltiplo de 7, a igualdade não tem solução.


6 – Achar inteiros x, y  e z que verifiquem a igualdade  198x + 288y + 512z = mdc(198, 288, 512)
Solução: mdc(198, 288, 512) = mdc(mdc(198, 288), 512) = mdc(18, 512) = 2.
Temos 198x + 288y + 512z = 2. 

Mdc(198, 288) = 18
 198x + 288y = 2 – 512z.
Devemos escolher z de modo que 2 – 512z seja múltiplo de 18 = mdc(198, 288).
-512z + 2 = 18.(-28z) + (-8z + 2). Para que - 512z + 2 sejá múltiplo de 18, o resto –8z + 2 deve ser múltiplo de 18.
-8z + 2 = 2.(-4z + 1) = 18k = 2(9k) (–4z + 1) deve ser múltiplo de 9. Temos então para z, valores como –2 pois (-4z + 1) = 9 que é múltiplo de 9; z = 7, pois (-4z + 1) = 27 que é múltiplo de 9; z = 16, pois (-4z + 1) = -63 que é múltiplo de 9. Outros valores podem ser encontrados.
Escolhendo z = 7
Temos: 198x + 288y = -512(7) + 2 = -3582 = 18(-199) 

288 = 198.1 + 90
198 = 90.2 + 18
 90 = 18.5 + 0

18 = 198 – 90.2
18 = 198 – (288 – 198.1).2
18 = 198.(3) + 288.(-2)
18.(-199) = 198(3.-199) + 288(-2.-199) = 198(-597) + 288(398).
Portanto, 198(-597) + 288(398) + 512(7) = 2. x = -597, y = 398 e z = 7.
 Outro conjunto de valores é: x = 171, y = -144 e z = -2.


7 -  Calcular as soluções de todos os itens podem ser obtidas a partir da propriedade mdc(a,b).mmc(a, b)=a.b. Calcula-se o mdc pelo algorítmo de Euclides e a seguir divide o produto ab pelo mdc(a, b) 

(a) mmc( 45, 21).   

Solução: Tem-se mdc(45, 21) = 3,  ab = 45.21 = 945.     mmc = 945 : 3 = 315. 

Devido a simplicidade da solução, deixamos a cargo do leitor a solução dos demais itens.


(b) mmc(83, 68). Resposta: 5644 

(c) mmc( 120, 110). Resposta: 1320 

(d) mmc(86, 71). Resposta: 6106 

(e) mmc(224, 192). Resposta: 1344 

(f) mmc(1287, 507). Resposta: 16731 

(g) mmc(143, 227). Resposta: 32461 

(h) mmc(306, 657). Resposta: 22338 

 

8 – O mdc de dois inteiros positivos a e b é 8 e na sua determinação pelo algoritmo de Euclides os quocientes sucessivamente obtidos foram 2, 1, 1 e 4. Calcular a e b. 

Solução: Montando o dispositivo para cálculo do mdc(a, b), temos 

  

 
 
 
2
 
 

1

1
4
quociente
a
b
x
y
8
restos
x
y
8
0
 


Temos: y = 8.4 = 32;
x = y.1 + 8 ⇒ x = 32.1 + 8 = 40
b = x.1 + y = 40.1 + 32 = 72

a = 2.b + x = 2.72 + 40 = 184.
Resposta: a = 184 e b = 72.

 

9 – Determinar os inteiros positivos a e b sabendo:
(a) ab = 4032 e mmc(a, b) = 336
Solução: Temos mdc(a, b).mmc(a, b) = ab. Portanto, mdc(a, b) = 4032 : 336 = 12
Como 12 é o mdc(a, b), a = 12x e b = 12y com x e y primos entre si.
4032 = 12x.12y = 144xy  xy = 28  x = 1 e y = 28 ou x = 4 e y = 7. 
Assim, a = 12.1= 12 e b = 12.28 = 336 ou a = 12.4 = 48 e b = 12.7 = 84.
 Resposta: 12 e 336 ou 48 e 84.

 


(b) mdc(a, b) = 8 e mmc(a, b) = 560
Solução: Sendo mdc(a, b) = 8 , a = 8.x e b = 8.y, com x e y primos entre si.
mmc(a, b) . mdc(a, b) = 8.560 = 4480
8x.8y = 4480 x.y = 70 x = 1 e y = 70, ou x=2 e y=35 ou x = 7 e y = 10 ou x = 5 e y=14.
Para x = 1 e y = 70, a = 8.1= 8 e b = 8.70 = 560.
Para x = 2 e y = 35, a = 8.2 = 16 e b = 8.35 = 270
Para x = 7 e y = 10, a = 8.7 = 56 e b = 8.10 = 80
Para x = 5 e y = 14, a = 8.5 = 40 e b = 8.14 = 112.
Resposta:  8 e 560, ou 16 e 270, ou 56 e 80,  ou 40 e 112.



(c) a + b = 589  e mmc(a, b)/mdc(a,b) = 84 

Solução: mmc(a,b) = 84.mdc(a, b) = 2.2.3.7.mdc(a, b)
 Como mdc(a, b) é o maior divisor comum,  a = mdc(a,b). x   e b = mdc(a, b).y com x e y primos entre si.

 ab = mdc(a, b).mmc(a, b)  =     mdc(a,b).mdc(a,b).84 ⇒ [a/mdc(a,b)] . [b/mdc(a,b)] = 84. Façamos [a/mdc(a,b)] = x e [b/mdc(a,b)] = y. Os números x e y são primos entre si e x.y = 84. Então, x.y = 2.2.3.7. Assim, x = 2.2 e y = 3.7 ou x = 2.2.3 e y = 7 ou x = 2.2.7 e y = 3 ou x = 2.2.3.7 e y = 1.
Assim,
(1º) a = mdc(a,b). 2.2 e b = mdc(a, b).3.7 a / b = 4/21.  Como a + b = 589, tiramos  b + (4/21)b = 589 21b + 4b = 589(21) 25b = 589.21 não existe o inteiro b pois 589.21 não é múltiplo de 25.
 

(2º) a = mdc(a, b).2.2.3  e b = mdc(a, b).7 a/b = 12/7. Sendo a + b = 589, tem-se b + (12/7)b = 589 19b = 589.7 b = 217 e a = 589 – 217 = 372.
 

(3º) a = mdc(a, b).2.2.7  e b = mdc(a, b).3 a / b = 28/3.  Temos, b + (28/3)b = 589 è 31b = 589.3   b = 57 e a = 589 – 57 = 532.
 

(4º)  a = mdc(a, b).2.2.3.7  e b = mdc(a, b).1 a/b = 84 b + 84b = 589 85b = 589 não existe o inteiro b pois 589 não é divisível por 85. Portanto, temos: 217 e 372 ou 57 e 532. 

 

10 – Demonstrar que se a e b são inteiros positivos tais que o mdc(a, b) = mmc(a,b) então a=b. 

 Solução:
Seja d = mdc(a, b) d | a    e d = mmd(a, b) a | d . Como d | a e a | d então a = d. (1)
Temos ainda d = mdc(a, b) d | b  e  d = mmc(a, b) b | d. Como d | b e b | d, b = 2. (2)
 De (1) e (2) conclui-se que a = b. Cqd.

  

11 – Sendo a e b inteiros positivos, demonstrar que o mdc(a, b) sempre divide o mmc(a, b). 

 Solução: Seja  Mdc(a,b) = d. Em consequência, existem os inteiros primos x e y tais que a = dx e b = dy. Podemos então escrever:  a.b = mdc(a,b).mdc(a,b). xy . Como  ab = mdc(a, b).mmc(a, b) temos Mdc(a, b).mmc(a,b) = mdc(a, b).mdc(a, b).x.y mmc(a, b) = mdc(a, b).(xy).  Como existe o inteiro (xy) tal que mdc(a, b) . (xy) = mmc(a, b) então mmc(a, b) é múltiplo de mdc(a, b) ou mdc(a, b) divide mmc(a,b). Cqd. 

homem com camisa preta com a palavra novo escrita na frente, ao fundo uma televisão preta e um aparelho split de ar-condicionado

Everton Alves

Formado em Licenciatura em matemática, programador e apaixonado pela capoeira.

2 Comentários

  • Preciso de ajuda para resolver a seguinte questão. O algoritmo de Euclides estendido é o seguinte: “Dados a e b inteiros, seja d = mdc(a,b) então existem r e s inteiros tais que sa+rb=d.” Usando o algoritmo de Euclides estendido mostre que se p é primo e a e b são inteiros tais que p é divisor de ab, então p é divisor de a ou p é divisor de b
    • Suponha que p é divisor de ab, mas não seja de a. Então a e p serão primos entre si, e assim podemos achar x e y tais que xa+yp=1 Multiplicando por b, temos xab+ybp=b Como xab e ybp são múltiplos de p, a soma também será. É isso! Resposta extraída de: http://www.mail-archive.com/obm-l@mat.puc-rio.br/msg47219.html
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