Definição: Se a e b são inteiros, dizemos que a divide b, se existir um inteiro c tal que b = a.c, e denotamos por a|b. Se a não dicide b escrevemos a~|b.

 

Proposição 1 – Se a, b e c são inteiros, a|b e b|c, então a|c.

Exemplo 1: a = 2, b = 6 e c = 18, como 2|6 e 6|18 então 2|18.

Exemplo 2: a = 3, b = 21 e c = 42, como 3|21 e 2142 então 3|42.

 

Demonstração: Como a|b e b|c, existem inteiros k e n, tais que b = k.a (I) e c = n.b (II). Substituindo o valor de b na equação (II), teremos: c = n.(k.a) = (kn).a, o que implica a|c. Cqd.

 

Proposição 2 – Se a, b, c, m e n são inteiros, c|a e c|b, então c|(ma+nb).

Exemplo 1: a = 12, b = 6 e c = 3, m = 2 e n = 5 como 3|12 e 3|6 então 3|(2.12+5.6).

 

Demonstração: Se c|a e c|b então, existem k e r inteiros tais que, a = k.c e b = r.c. Multiplicando-se estas duas equações, respectivamente, por m e n teremos: ma = mkc e nb = rnc. Somando-se membro a membro, obtemos ma+nb = (mk+nr).c, o que nos diz que c|(ma+nb). cqd.

 

Teorema: A divisão tem a seguintes propriedades:

(i) n|n

Exemplo: 2|2, pois, 2 = 2.1.

Demonstração: Como n = n.1, decorre da definição que n|n, inclusive para n = 0. cqd.

 

(ii) d|n => ad|an

Exemplo: 3|6, então, (2.3)|(2.6).

Demonstração: Se d|n então, n = c.d, para algum inteiro c. Multiplicando a em ambos os membros teremos, an = acd = adc. Logo, ad|an. cqd.

 

(iii) ad|an e a≠0 => d|n

Exemplo: 6|12, então, (2.3)|(2.6) = 3|6.

Demonstração: Se ad|an, a≠0, então, exite k, inteiro, tal que an = ad.k, como a≠0, podemos dividir ambos os membro por a, daí, n = dk => d|n. cqd.

 

(iv) 1|n

Exemplo: 1|12, então, 12 = 1.12.

Demonstração: Como n = 1.n, decorre da definição que 1|n. cqd.

 

(v) n|0

Exemplo: 1|12, então, 12 = 1.12.

Demonstração: Decorre da definição, pois basta tomar b=0 e teremos n = 0.k, logo, n|0. cqd.

 

(vi) d|n e n≠0 => |d| ≤ |n|

Exemplo: 12|(-36) e -36≠0, então, |12| ≤ |-36|.

Demonstração: Fica como exercício.

 

(vii) d|n e n|d => |d| = |n|

Exemplo: 3|(-3) e (-3)|3, então, |3| =|-3|.

Demonstração: Fica como exercício.

 

(viii) d|n e d≠0 => (n/d)|n

Exemplo: 12|(-36) e 12≠0, então, (-36/12)|-36.

Demonstração: Se d|n então n = kd e portanto, n/d é um inteiro. Como (n/d).d = n, Segue da definição que (n/d)|n. cqd.