Um pouco de história: A teoria teve seu início com a publicação em 1874 de um trabalho de Cantor que tratava sobre a comparação de coleções infinitas. O trabalho apresentava uma forma de comparar conjuntos infinitos pelo "casamento" 1-1 entre os elementos destes conjuntos.

 

Desde 1638, com Galileu Galilei, sabe-se que se pode obter uma correspondência 1-1 entre os números inteiros e seus quadrados, o que violava a concepção euclidiana de que o todo é sempre maior que qualquer uma de suas partes.

 

Conjunto é um ente primitivo, isto é não se define. Pode ser representado por um par de chaves, diagramas...

Exemplo: Conjunto das vogais: {a, e, i, o, u}; Conjunto dos numerais primos positivos: {2, 3, 5, 7, 11,13,17,19 ...}

 

Conjunto Unitário: Possui um único elemento. Exemplo: Conjunto dos times cariocas campeões do mundo: ; Conjunto dos números primos pares:

Conjunto Vazio: Não possui elemento algum. É representado por { } ou pelo símbolo Ø. Exemplo: {x∈N/x > 3 e x < 2}. Nenhum valor satisfaz as condições do conjunto, logo, a solução é um conjunto vazio (Ø).

Conjunto Universo: Na matemática adotamos um conjunto U ao qual pertencem todos os elementos de determinado assunto e que recebe o nome de conjunto universo. Desta forma, quando procuramos as soluções reais de uma equação, nosso universo é o conjunto dos reais.

Subconjunto: Um conjunto A é subconjunto de B se, e somente se, todo elemento de A pertence também a B. A notação A⊂B (lê-se: A está contido em B) indica que A é subconjunto de B. Exemplo: conjunto A = {3,5}. São subconjuntos de A : Ø, , e {3,5}.

RELAÇÕES IMPORTANTES

i) Entre Elemento e Conjunto: Pertinência - É a relação que trabalha com os símbolos de ∈ (pertence) ou ∉ ( não pertence)
Exemplo: A= {3,5} ⇒ 3 ∈ A (3 pertence a A), mas, 2 ∉ A (2 não pertence a A).
Observação: Em A = {1,, Ø}, 1, e Ø são elementos de A, logo podemos afirmar: 1 ∈ A; ∈ A; Ø ∈ A.

 

ii) Entre Conjunto e Conjunto: Está contido (⊂); contém (⊃) e não está contido (⊄).

Exemplo: A = {a, b, c} e B = {a, b} ⇒ B ⊂ A ( B está contido em A) ou A⊃B ( A contém B)
Exemplo: A = {a, b} e B= {a, c,e} ⇒ A ⊄ B (A não está contido em B ou B não contém A)

 

Obs.: O conjunto vazio está contido em qualquer conjunto. Exemplo: X = {1,2,3,4,5}, ∅ ⊂ X

 

OPERAÇÕES COM CONJUNTOS

União: A∪B ( A união B) é formado pelos elementos que pertencem a pelo menos um dos conjuntos A e B. Exemplo: {x, y} ∪ {a, b} = {x,y,a, b}

Interseção: A∩B (A interseção B) é formado pelos elementos que pertencem aos dois conjuntos simultaneamente. Exemplo: {x, y} ∩ {x, z} = x.

 

Diferença: A - B (A menos B) é formado pelos elementos de A que não pertencem a B. Exemplo: {x, y} - {y, z} = {x,z}

 

Complementar: Dados os conjuntos A e B, tais que B ⊂ A, chama-se complementar de B em relação a A o conjunto A - B, isso é, o conjunto dos elementos de A que não pertencem a B. Com o símbolo CAB indicamos o complementar de B em relação a A. Notemos que só é definido para B ⊂ A e aí temos: CAB = A - B se, B⊂A.

 

Exercícios propostos

1) Uma Organização contratou convênios com um Plano de saúde , um plano de Previdência Privada e um Seguradora de veículos para a Adesão voluntária de seus 5.350 empregados. Sabe-se que as adesões ficaram assim distribuídas:

 

870 aderiram ao plano de saúde e ao seguro de veículos;

580 aderiram ao seguro de veículos e ao plano de Previdência

1.230 aderiram aos planos de saúde e de Previdência

320 aderiram apenas ao seguro de veículos

2.280 aderiram apenas ao plano de Previdência

350 aderiram às três modalidades de convênio

280 não aderiram a nenhum convênio.

Com base nessa situação, marque a correta:
a) mais de 2000 empregados aderiram apenas ao plano de saúde;

b) A quantidade de empregados que aderiram apenas aos planos se saúde e de Previdência foi de 850.

c) A quantidade de empregados que aderiram a apenas ao Plano de Previdência é de 900.

d) A quantidade de empregados que aderiram a apenas a duas modalidades de convênio foi inferior a 1650.

e) A quantidade de empregados que aderiram a apenas ao Plano de Saúde é de 372

 

2) Uma escola de música oferece apenas os cursos de Teclado, Violão e Canto e tem 345 alunos. Sabe-se que - nenhum aluno estuda apenas Canto. - nenhum aluno estuda Teclado e Violão. - 225 alunos estudam Teclado. - 90 alunos estudam Teclado e Canto. - 50 alunos estuda apenas Violão.
Quantos alunos estudam Canto e Violão?

a) 70                b) 120            c) 140           d) 150           e) 160

 

3) Uma escola ofereceu a seus alunos aulas de 3 línguas estrangeiras : Inglês (I), Francês (F) e Espanhol (E). A quantidade de alunos matriculados consta na tabela abaixo:

 

 

a)20 alunos se inscreveram apenas para as aulas de Inglês.

b)12 alunos se inscreveram para as aulas de Francês e Espanhol.

c)10 alunos se inscreveram apenas para as aulas de Espanhol.

d) 5 alunos se inscreveram apenas para as aulas de Francês e Inglês.

e) 4 alunos se inscreveram apenas para as aulas de Francês.

 

4) Em uma grupo de 100 alunos, sabe-se que 47 foram reprovados em História e 39 foram reprovados em Geografia . Se 21 alunos foram aprovados em História e Geografia.

Marque a correta :

a) 17 alunos foram reprovados em História e Geografia simultaneamente

b) 53 alunos não foram reprovados em História.

c) 27 alunos foram reprovados em História e Geografia simultaneamente

d) 12 alunos foram reprovados em Geografia

e) 12 alunos foram reprovados em Geografia ou História

 

5)Numa sala de aula com 60 alunos, 11 jogam xadrez, 31 são homens ou jogam xadrez e 3 mulheres jogam xadrez. Marque a incorreta :

a) 3 são mulheres; 23 são homens.

e) 49 pessoas não jogam xadrez.

 

6) Numa companhia de manutenção de telefone constatou-se na semana passada em sua oficina que dos 453 que chegaram para conserto, 318 estavam mudos, 213 estavam com desligamento parcial (as contas não estavam pagas). Marque a correta :

a) 78 telefones que estavam em ambas as situações.

b) 31 telefones que estavam mudos.

c) 42 telefones que estavam com desligamento parcial.

d) 68 telefones que estavam em ambas as situações.

e) 23 telefones que estavam com desligamento parcial.

 

7) Uma pesquisa realizada entre 520 pessoas contou-se que 110 pessoas gostam de vôlei, 140 gostam somente de futebol, 97 gostam dos dois esportes. Logo:

a) 270 pessoas não quiseram opinar.

b) 87 pessoas disseram gostar apenas de vôlei.

c) 122 pessoas disseram gostar apenas de futebol.

d) 74 pessoas disseram gostar apenas de vôlei.

e) 113 pessoas disseram gostar apenas de futebol.

 

8) Um médico me disse: De 200 crianças que eu examino, 55 têm catapora e 35 têm catapora e coqueluche. Então:

a) 55 examinas pelo médico têm apenas catapora.

b) 130 examinas pelo médico têm coqueluche ou catapora.

c) 180 examinas pelo médico têm coqueluche.

d) 65 examinas pelo médico têm apenas catapora.

e) 80 examinas pelo médico têm coqueluche .

 

9) Na sala de aula de Arthur há 35 alunos, sendo 16 meninas. O professor de Educação Física perguntou se preferiam piscina ou quadra. Assim, 25 alunos, desses 12 meninos, responderam que preferiam piscina. Com esses dados podemos corretamente concluir que:

a) 19 meninos que preferem a quadra.

b) 4 meninas que preferem a quadra.

c) 17 meninos preferem a quadra.

d) 15 meninas que preferem a piscina.

e) 7 meninos preferem a quadra.

 

10) Num trem, encontravam-se 167 passageiros, dos quais 83 eram homens. Sabe-se que 79 passageiros estavam sentados. Se 62 homens estavam em pé. Logo não se pode afirmar que Julgue certo ou errado:

a) 62 homens estavam em pé.

b) 21 mulheres estavam sentados

c) 58 mulheres estavam sentadas

d) 37 homens estavam sentados.

e) 26 mulheres estavam em pé.

 

 

12) Em uma escola que tem 415 alunos, 221 estudam Inglês, 163 estudam Francês e 52 estudam ambas as línguas. Pode-se afirmar que:

a) 222 alunos estudam Inglês ou Francês

b) 93 alunos não estudam Inglês ou Francês

c) 322 alunos estudam Inglês ou Francês

d) 83 alunos estudam Inglês ou Francês

e) 104 alunos estudam Inglês e Francês

 

13) Qual das proposições abaixo é falsa?

a) A ⊂ ( A ∪ B)

b) (A ∪ B) ⊂ (A ∪ B)

c) (A ∪ B) ⊂ [( A ∪ B) ∪ C ]

d) B ∈ (A ∪ B)

e) ∅ ⊂ ( A ∪ B)

 

14) Qual das proposições abaixo é falsa?

a) (A ∩ B) ⊂ A

b)(A ∩ B) ⊂ (A ∪ B)

c) ∅ ⊂ (A ∩ B)

d) B ⊂ (A ∩ B)

e) (A ∪ A) ∩ B = (B ∩ B) ∩ A