A razão entre dois números inteiros, dada uma certa ordem, é o quociente do primeiro pelo segundo, sendo este diferente de zero. Desta forma, “a razão de a para b” pode ser representada por a/b ou a:b, onde a é o antecedente e b o consequente.

 

Exemplos: a razão entre 0,32 e 4 é: 0,32/4 = 32/10/4 = (32/10).4 = 128/10 = 64/5 (64 para 5);

A razão entre 1/3 e 2/5 é: (1/3)/(2/5) = (1/3).(5/2) = 5/6 (5 para 6);

 

Razões inversas: são duas razões cujo produto é 1. Ex: (3/5).(10/6) = 1 (podemos dizer que “3 está para 5 na razão inversa de 10 para 6” ou que “3/5 e 10/6 são razões inversas”)

 

Proporção é a igualdade entre duas ou mais razões. A seguinte proporção a/b = b/c pode ser lida da seguinte forma: “a está para b assim como c está para d”, onde a e d são os extremos e b e c são os meios.

 

Propriedade: Em toda proporção o produto dos extremos é igual ao produto dos meios;

 

Quarta proporcional: de três números dados a, b e c nesta ordem, é o número x que completa com os outros três uma proporção tal que: a/b = c/x.

 

Dada uma proporção onde o valor do número de uma das razões é desconhecido podemos determina-lo utilizando a propriedade acima, da seguinte forma: seja a proporção 3/5 = 6/x, determinar o valor de x. Utilizando a propriedade acima teremos, 3.x = 5.6 => 3x = 30 => x = 30/3 => x = 10.

 

Exemplo: Determinar a quarta proporcional entre 1, 2 e 3 nessa ordem: 1/2 = 3/x => x = 6.

 

Proporção continua: é aquela que tem os meios iguais e valem as seguintes proposições:

1 – O valor comum dos meios é chamado média proporcional (ou média geométrica) dos extremos. Ex: 3 é a média proporcional entre 1 e 9, pois, 1/3 = 3/9.

2 – O último termo é chamado terceira proporcional. Ex: 10 é a terceira proporcional dos números 40 e 20.

 

Proporção múltipla: é a igualdade simultânea de três ou mais razões. Ex: 1/2 = 2/4 = 4/8 = ...

 

OBS.: Quando duas razões são inversas qualquer uma delas forma uma proporção com o inverso da outra. Ex: 2/3 e 6/4 são razões inversas. Então, 2/3 faz proporção com 4/6 (inverso de 6/4) e vice-versa.

 

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

 

1 – Numa prova com 50 questões, acertei 35, deixei 5 em branco e errei as demais. Qual é a razão do número de questões certas para o de erradas?

Solução: Como 35 questões estavam certas e ficaram 5 em branco, Logo, as questões erradas foram: 50 – 35 – 5 = 10. Portanto, a razão do número de questões certas para o de erradas é: 35/10 = 7/2 (7 para 2).

 

2 – Determine dois números na proporção de 3 para 5, sabendo que a soma deles é 48?

Solução: os números são x e y, como a proporção é 3 para 5, então x tem 3 partes e y tem 5 partes. Dessa forma, x = 3p e y = 5p (I) e x+ y = 48 (II), substituindo I em II: 3p + 5p = 48 => 8p = 48 => p = 6. Portanto, x = 3.6 = 18 e y = 5.6 = 30.

 

3 – Dois números negativos encontram-se na proporção de 7 para 3. Determine-os sabendo que o quadrado do primeiro supera o quadrado do segundo em 360.

Solução:x = 7p, y = 3p (I)e x² - y² = 360 (II). Então, (7p)² - (3p)² = 360 => 49p² – 9p² = 360 => 40p² = 360 => p² = 360/40 => p² = 9 => p = -3 ou p =3 (não serve, pois os número tem que ser negativos). Portanto, x =7.(-3) = -21 e y = 3.(-3) = -9.

4 – Três números são tais que o primeiro está para o segundo assim como 2 está para 5 enquanto a razão do terceiro para o primeiro é 7/2. Quais são estes números, se a soma dos dois menores é igual a 49?

Solução: x = 2p, y = 5p, z = 7p e x + y = 49. Então, 2p + 5p = 49 => 7p = 49 => p = 7. Portanto, x = 2.7 = 14, y = 5.7 = 35 e z = 7.7 = 49.

 

5 – Três números são proporcionais a 2, 3 e 5 respectivamente. Sabemos que o quíntuplo do primeiro, mais o triplo do segundo, menos o dobro do terceiro resulta 18, quanto vale o maior deles?

Solução: x = 2p, y = 3p, z = 5p e 5x + 3y - 2z = 18. Então, 10p + 9p – 10p = 18 => 9p = 18 => p = 2. Portanto, x = 2.2 = 4, y = 3.2 = 6 e z = 5.2 = 10. O maior deles é 10.