No estudo da Lógica Matemática para o Nível Médio simplificaremos as definições, teoremas e axiomas, com o intuito de facilitar o aprendizado. Vamos começar.
Proposição: todo conjunto de palavras ou símbolos que expressam um pensamento de sentido completo. Pode ser:
- simples ou composta;
- Atribuídos valores lógicos, verdadeiro ou falso;
- Representado, geralmente, letras minúsculas para representar (p, q, r,...).
Ex.: x+5=3, x pertence a N (Falso); sen 30º = 1/2 (Verdadeiro).
Proposição simples: é formada por uma única sentença, i.e, não possui conectivos. Ex.: q: o sol é quente; p: A lua é feita de queijo; r: João é médico.
Proposição composta: é formada por mais de uma proposição simples, i.e, vem separada por conectivos. Ex.: p: a lua é feita de queijo e o sol é quente; q: João é médico ou João não é médico.
Obs.: Não se constituem proposições lógicas: frases ou orações exclamativas, interrogativas e/ou imperativas.
Princípios:
1) Identidade: Toda proposição é igual a ela mesma. Ex.: p = p; x = x; y = y.
2) Não contradição: Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.
3) Terceiro excluído: Uma proposição só pode ser classificada como verdadeira ou falsa, não existe outro valor lógico possível.
Conectivos lógicos
Conjunção: Uma proposição conjuntiva (^) é verdadeira quando ambas as proposições são verdadeiras. Ex.: (x+5=3) ^ (1>0) (V); (2-5 = 5) ^ (1=5) (F).
Disjunção: Uma proposição disjuntiva (v) é falsa quando ambas as proposições são falsas. Ex.: (3+5=1)v(1>0,2)(V).
Condicional: Uma proposição condicional (->) é falsa quando a primeira proposição é verdadeira e a segunda é falsa. Ex.: (1<2) -> (2=3) (F).
Bi-condicional: Uma proposição bi-condicional (<->) é verdadeira quando ambas as proposições tem valores lógicos iguais. (1>2) <-> (2=3) (F); (1+2<4) -> (2+2>3) (V).
Negação: ~p (não p) Valor lógico falso quando a proposição que a compõe for verdade. Exemplo: p: A lua é uma estrela => ~p: A lua não é uma estrela.
Exercícios resolvidos
1 - O pai de Antonio prometeu lhe dar uma bicicleta e uma bola, verifique qual das opções é verdadeira:
a) O pai de Antonio só lhe deu a bicicleta;
b) O pai de Antonio só lhe deu a bola;
c) O pai de Antonio lhe deu ambos os presentes;
d) O pai de Antonio não lhe deu presente;
Solução:
a) Se o pai só der a bicicleta, teremos a seguinte condição: dar uma bicicleta (verdadeiro) e dar uma bola (falso).
b) Se o pai só der a bola, teremos a seguinte condição: dar uma bicicleta (falso) e dar uma bola (verdadeiro).
c) Se o pai der a bicicleta e a bola, teremos a seguinte condição: dar uma bicicleta (verdadeiro) e dar uma bola (verdadeiro).
d) Se o pai não der a bicicleta nem e a bola, teremos a seguinte condição: dar uma bicicleta (falso) e dar uma bola (falso).
Resposta: Como a conjunção só é verdadeira se ambas as proposições forem verdadeiras, a resposta correta é a letra c.
2 - O pai de Antonio prometeu lhe dar uma bicicleta ou uma bola, verifique qual das opções é falsa:
a) O pai de Antonio só lhe deu a bicicleta;
b) O pai de Antonio só lhe deu a bola;
c) O pai de Antonio lhe deu ambos os presentes;
d) O pai de Antonio não lhe deu presente;
Solução:
a) Se o pai só der a bicicleta, teremos a seguinte condição: dar uma bicicleta (verdadeiro) e dar uma bola (falso).
b) Se o pai só der a bola, teremos a seguinte condição: dar uma bicicleta (falso) e dar uma bola (verdadeiro).
c) Se o pai der a bicicleta e a bola, teremos a seguinte condição: dar uma bicicleta (verdadeiro) e dar uma bola (verdadeiro).
d) Se o pai não der a bicicleta nem e a bola, teremos a seguinte condição: dar uma bicicleta (falso) e dar uma bola (falso).
Resposta: Como a disjunção só é falsa se ambas as proposições forem falsas, a resposta correta é a letra d.
3 – Determine qual das proposições abaixo é verdadeira:
a) Se Manoel nasceu em Feira de Santana então, ele é baiano;
b) Se Manoel é baiano então, ele nasceu em Feira de Santana;
c) Se Manoel não nasceu na Bahia então, ele não é brasileiro;
d) Se Manoel é brasileiro então, ele é baiano;
Solução:
a) Como todo feirense nasceu na Bahia (já que feira de Santana é uma das cidades da Bahia), temos que nascer em Feira de Santana é condição necessária para ser baiano.
b) Como nem todo baiano é feirense, temos que, nascer na Bahia não garante a naturalidade Feirense, pois Manoel pode ter nascido em qualquer cidade da Bahia. Logo a condição ser baiano não é necessária para ser feirense.
c) Como não ser baiano não garante a nacionalidade estrangeira, pois Manoel pode ter nascido em outro estado da federação e ser Brasileiro. Logo a condição não ser baiano não é necessária para não ser brasileiro.
d) Nascer no Brasil não garante que Manoel é baiano, pois ele pode ter nascido em qualquer estado do país. Logo a condição ser brasileiro não é necessária para ser baiano.
Resposta: Como a condicional só é falsa se a verdade da primeira proposição não garantir a verdade da segunda. Temos que a resposta certa é a letra a.
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