Um certo bem de consumo tem custo fixo de produção igual a R$ 9000,00 e custo unitário (variável) de R$ 15,00. A sua curva (função) de demanda é dada por p=280-q, onde q é a quantidade demandada e produzida (com variação de 0 a 150) e p é o preço unitário de venda. Considere q em toneladas (ton).

a) Obtenha a função lucro total dessa utilidade e esboce seu gráfico.

b) Determine (utilizando derivada), qual é a quantidade q que determina lucro máximo

Solução:

a) Primeiro calculamos o Custo Total: 

C(q) = Custo Fixo + Custo variável = 9.000,00 15q (custo unitário x quantidade produzida). Daí, C(q) = 9.000 + 15(q).

Agora vamos calcular a Receita Total:

R(q) = p (Preço Unitário) x Preço Unitário (Quantidade Vendida) = pxq .

Daí, R(q) = (280-q)q = 280q – q².

Por fim calcularemos o Lucro Total:

L(q) = Receita Total - Custo Total = (280q - q²) - (9000 + 15q).

Daí, L(q) = - q² + 265q – 9000.

Para construir o gráfico, basta seguir os passos abaixo:

1. Calcule, os zeros da função: x₁ = 40 e x₂ = 225, pontos (40,0) e (225,0);

2. Marcar o valor de c no eixo Y: c = -9000, ponto (0,-9000);

3. Calcular Y_v = -Delta/4a = - 34225/4.(-1) = 777,8 e X_v = -b/2a = -265/-2 = 132,5, ponto (777,132);

4. Marque os pontos no sistema cartesiano e trace a linha do gráfico.

b) Para encontrar o lucro máximo, a 1ª derivada deve ser igual a zero e a segunda derivada menor que zero.

A derivada de: q = 280q - q² = 265 - 2q

Iguale a derivada a zero: 265 - 2q = 0

q = 265/2 = 132,5, mas q é inteiro, então, q = 132. Logo, o lucro máximo ocorre quando q = 132 ton e a solução está dentro do intervalo 0 < q < 150.

Observe que o lucro máximo é o valor de X_v.