Definição: Entenderemos por Progressão Geométrica (PG) como qualquer sequência de números reais ou complexos, onde cada termo a partir do segundo é igual ao anterior, multiplicado por uma constante denominada razão.

Exemplos:

PG de razão 2: (1, 2, 4, 8, 16, 32, ... ) 

PG de razão 1: (5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, ... )

PG de razão ½: (100, 50, 25, ... )

PG de razão -3: (2, -6, 18, -54, 162, ...);

Uma PG é uma seuquência numerica que respeita uma lei de formação!

Classificação de uma P.G

Fórmula do termo geral: Seja a PG genérica: (a₁, a₂, a₃, a₄, ... , a_n, ... ) , onde a₁ é o primeiro termo, e a_n é o n-ésimo termo, ou seja, o termo de ordem n. Sendo q a razão da PG, da definição podemos escrever:

a₂ = a₁ . q; a₃ = a₂. q = (a₁. q). q = a₁. q² => a₄ = a₃ . q = (a₁. q²). q = a₁. q³...

Infere-se (deduz-se) que: 

$a_n= a_1 . q^{n-1}$, que é denominada fórmula do termo geral da PG.

Genericamente, poderemos escrever: a_j = a_k . q^j-k

Interpolação Geométrica:

Interpolar K meios geométricos entre dois números a e b significa obter uma P.G de extremos a₁ = a e a_n = b, com K + 2 termos.
 

Vamos fazer um exemplo para ver como funciona: Interpolar 4 meios geométricos entre 5 e 160.

Vamos lá, como temos que interpolar 4 meios então a PG tem 6 elementos, i.e, n = 6 e PG: (5, _, _, _, _, 160). 

Dai,

a₁ = 5;

a₆ = 160;

n = 6

q = ?

160 = 5.q^6-1 => 160 = 5.q⁵ => 160/5 = q⁵ => 32 = q⁵ => 2⁵ = q⁵.

Logo, q = 2.

PROPRIEDADES PRINCIPAIS

P1 - em toda PG, um termo é a média geométrica dos termos imediatamente anterior e posterior.

Exemplo: PG (A,B,C,D, E,F, G). Temos então: B² = A. C; C² = B. D; D² = C. E; E² = D. F etc.

P2 - o produto dos termos equidistantes dos extremos de uma PG é constante.
Exemplo: PG (A,B,C,D, E,F, G). Temos então: A. G = B. F = C. E = D. D = D²

SOMA DOS N PRIMEIROS TERMOS DE UMA PG

Seja a PG (a₁, a₂, a₃, a₄, ... , a_n , ...) . Para o cálculo da soma dos n primeiros termos S_n, vamos considerar o que segue: S_n = a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + ... + a_n-1 + a_n. Multiplicando ambos os membros pela razão q vem:

S_n . q = a₁. q + a₂.q + ... + a_n-1. q + a_n .q. S_n . q = a₂ + a₃ + ... + a_n + a_n. q => a₂ + a₃ + ... + a_n é igual a S_n - a₁. Logo, substituindo, vem: S_n. q = S_n - a₁ + a_n. q. Daí, simplificando convenientemente, chegaremos à seguinte fórmula da soma: S_n = (a_n.q-a₁)/(q-1). Se substituirmos a _n = a₁. q^n-1, obteremos uma nova apresentação para a fórmula da soma, ou seja:

$S_n = a_1 . \frac{(q^n - 1)}{q - 1}$

Exemplo: Calcule a soma dos 10 primeiros termos da PG (1,2,4,8,...).Temos: S₁₀ = (2¹⁰ – 1)/(2 – 1) = 1023

SOMA DOS TERMOS DE UMA PG DECRESCENTE E ILIMITADA.

Considere uma PG ILIMITADA (infinitos termos) e decrescente. Nestas condições, podemos considerar que no limite teremos a_n = 0.

Substituindo na fórmula anterior, encontraremos:

$S_{\infty } = \frac{a_1}{(1-q)}$

Exemplo: Resolva a equação: x + x/2 + x/4 + x/8 + x/16 + ... = 100

Ora, o primeiro membro é uma PG de primeiro termo x e razão 1/2. Logo, substituindo na fórmula, vem:

[x/(1 – ½ )] - 100. Daí, vem: x = 100.1/2 = 50.

PRODUTO DOS TERMOS DE UMA P.G FINITA:

$P_n = a_1^n . q^{\frac{n(n-1)}{2}}$

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1 - Se a soma dos três primeiros termos de uma PG decrescente é 39 e o seu produto é 729 , então sendo a, b e c os três primeiros termos , pede-se calcular o valor de a² + b² + c².

Solução: Sendo q a razão da PG, poderemos escrever a sua forma genérica: (x/q, x, xq).
Como o produto dos 3 termos vale 729, vem: x/q, x, xq = 729 de onde concluímos que:
x³ = 729 = 3⁶ = 3³ . 3³ = 9³, logo, x = 9. Portanto a PG é do tipo: 9/q, 9, 9q
É dado que a soma dos 3 termos vale 39, logo: 9/q + 9 + 9q = 39 de onde vem: 9/q + 9q – 30 = 0 Multiplicando ambos os membros por q, fica: 9 + 9q² – 30q = 0

Dividindo por 3 e ordenando, fica: 3q² – 10q + 3 = 0, que é uma equação do segundo grau.
Resolvendo a equação do segundo grau acima encontraremos q = 3 ou q = 1/3.

Como é dito que a PG é decrescente, devemos considerar apenas o valor
q = 1/3, já que para q = 3, a PG seria crescente. Portanto, a PG é: 9/q, 9, 9q, ou substituindo o valor de q vem: 27, 9, 3.

O problema pede a soma dos quadrados, logo: a² + b² + c² = 27² + 9² + 3² = 729 + 81 + 9 = 819

2 - Sabe-se que S = 9 + 99 + 999 + 9999 + ... + 999... 9 onde a última parcela contém n algarismos. Nestas condições, o valor de 10ⁿ⁺¹ - 9(S + n) é:
A) 1 *B) 10 C) 100 D) –1 E) –10

Solução: Observe que podemos escrever a soma S como:
S = (10 – 1) + (100 – 1) + (1000 – 1) + (10000 – 1) + ... + (10ⁿ – 1)
S = (10 – 1) + (10² – 1) + (10³ – 1) + (10⁴ – 1) + ... + (10ⁿ – 1)
Como existem n parcelas, observe que o número (– 1) é somado n vezes,
resultando em n(-1) = - n. S = (10 + 10² + 10³ + 10⁴ + ... + 10ⁿ ) – n. Vamos calcular a soma

S_n = 10 + 10² + 10³ + 10⁴ + ... + 10ⁿ , que é uma PG de primeiro termo a₁ = 10, razão q = 10 e último termo a_n = 10ⁿ . Teremos: S_n = (a_n.q – a₁) / (q –1) = (10ⁿ. 10 – 10) / (10 – 1) = (10ⁿ⁺¹ – 10) / 9
Substituindo em S, vem: S = [(10ⁿ⁺¹ – 10) / 9] – n. Deseja-se calcular o valor de 10ⁿ⁺¹ - 9(S + n)
Temos que S + n = [(10ⁿ⁺¹ – 10) / 9] – n + n = (10ⁿ⁺¹ – 10) / 9.Substituindo o valor de S + n encontrado acima, fica: 10ⁿ⁺¹ – 9(S + n) = 10ⁿ⁺¹ – 9(10ⁿ⁺¹ – 10) / 9 = 10ⁿ⁺¹ – (10ⁿ⁺¹ – 10) =10

3 - O limite da expressão √{x√[x√x(√x)]...} onde x é positivo, quando o número de radicais aumenta indefinidamente é igual a:
A) 1/x *B) x C) 2x D) n.x E) 1978x

Solução: Observe que a expressão dada pode ser escrita como:
x^1/2. x^1/4 . x^1/8 . x^1/16 . ... = x^{1/2 + 1 / 4 + 1/8 + 1/16 + ...}. O expoente é a soma dos termos de uma PG infinita de primeiro termo a₁ = 1 /2 e razão q = 1 /2. Logo, a soma valerá: S = a₁ / (1 – q) = (1 /2) / 1 – (1 /2) = 1.

Então, x^{1/2 + 1 / 4 + 1/8 + 1/16 + ...} = x¹ = x

4 - UEFS - Os números que expressam os ângulos de um quadrilátero, estão em progressão geométrica de razão 2. Um desses ângulos mede:
a) 28° b) 32° c) 36° *d) 48° e) 50°

Solução:
Seja x o menor ângulo interno do quadrilátero em questão. Como os ângulos estão em Progressão Geométrica de razão 2, podemos escrever a PG de 4 termos: ( x, 2x, 4x, 8x ).
Ora, a soma dos ângulos internos de um quadrilátero vale 360º. Logo, x + 2x + 4x + 8x = 360º
15.x = 360º. Portanto, x = 24º. Os ângulos do quadrilátero são, portanto: 24º, 48º, 96º e 192º.
O problema pede um dos ângulos. Logo, alternativa D.

5 - Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente é igual a 20 e o oitavo termo é igual a 320. Qual a razão desta PG?

Solução: Temos a₄ = 20 e a₈ = 320. Logo, podemos escrever: a₈ = a₄. q^8-4 . Daí vem: 320 = 20.q⁴ . Então, q⁴ = 16 e, portanto q = 2.

6 - Dada a PG (2,4,8,... ), pede-se calcular o décimo termo.

Solução: Temos: a₁ = 2, q = 4/2 = 8/4 = ... = 2. Para calcular o décimo termo, ou seja, a₁₀, vem pela fórmula: a₁₀ = a₁. q⁹ = 2 . 2⁹ = 2. 512 = 1024.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1 - Calcule a razão dasprogressões.

a) (?2 – 1, 1, ?2 + 1,...). R: q = ?2 + 1

b) (?3 + ?2, 3 + ?6, 3?3 + 3?2,...). R: q = ?3.

2 - Qual o 5º termo da p.g (2/9, 4/3, 8, ...)?R:288.

3 - Qual o décimo termo da p.g (20, 10, 5, ...)?R: 5/128.

4 - O 4º termo de uma p.g é 1/ 250 e o 1º termo é igual a 4. Qual é a razão dessa p.g.R: q = 1/8.

5 - Calcule a razão de uma p.g cujo 2º termo é igual a 12 e a soma do 1º com o 3º é –51.R:- 1/4 ou -4.

6 - Numa p.g oscilante, a soma do 2º termo com o 5º termo é –210, e a soma do 4º com o 7º termo é –840. Qual o 1º termo dessa p.g?R: -15.

7 – Quantos termos tem a p.g (2, 6, 18, ...,4374)?R: n = 7.

8 – Quantos termos tem a p.g [3?2, 3, ..., (3?2)/16]?R: n = 9.

9 – Interpole 8 meios geométricos entre 2000 e 125/32.R: q = ½.

10 – Interpole 5 meios geométricos entre ?3 e 8?3. R: ??2.

11 - Interpolando 4 meios geométricos entre –2/9 e x, obtém-se uma p.g. de razão –3. Determine:

a) O valor de x; R: 54.

b) o 4º termo dessa p.g.R: 6.

12 - Sabendo que a₁₉ = 16, a₂₁ = 64_. Determine o vigésimo termo dessa p.g.R: a₂₀ = 32.

13 – Determine x de modo que a seqüência (x – 3, x + 1, 6x + 1). Seja uma p.g.R: -1/5 e 4.

14 – Determine x de modo que a seqüência (3^{x + 1}, 3^{4 - x}, 3^{3x + 1}). Seja uma p.g.R: 1.

15 – Determine x de modo que a seqüência (2, log₃ x, 8). Seja uma p.g.R: 81 ou 1/81.

16 – Que número deve ser somado a 2, 4 e 7, nessa ordem, a fim de obtermos uma p.g.R: 2.

17 – Escreva três números em p.g. cujo produto seja 27 e a soma dos dois últimos termos seja 15. R: ( ¾, 3, 12).

18 - Os números que expressam as medidas do lado, da diagonal, e da área de um quadrado estão nessa ordem em p.g.de razão ?2. Qual a medida do lado do quadrado? R: 2.

19 – Os números que expressam o raio de uma circunferência, seu perímetro e a área do circulo correspondente estão, nessa ordem, em p.g. Qual a área do circulo?R: 16?³.

20 – Os números que expressam a medida da base, a medida da altura e a da área de um triângulo estão nessa ordem em p.g. de razão ?2. Qual a área desse triangulo? R: 4?2.

21 – A quantidade de proteína presente no organismo de uma pessoa decresce a cada hora, segundo uma p.g. de razão 1/8. Sendo assim o tempo t para que a cafeína presente no organismo caia de 128mg para 1mg é tal que:

a) 0< t< 1 b) 1< t< 2 *c) 2< t< 4 d) 4< t< 6 e) 6< t< 8

22 - Qual o segundo termo da p.g(½,..., 1/512, 1/1024).R: ¼.

23 - Calcular a razão de uma PG crescente, sabendo-se que o seu primeiro termo é o dobro da razão e que a soma dos dois primeiros termos é 24. R: 3.

24 – Adicionando a mesma constante a cada um dos números 3, 6, 10, nessa ordem, obtém-se uma p.g. de razão igual a:

a) 2/5 *b) 4/3 c) 2 d) 5/2 e) 3

25 – Em uma p.g, o quarto termo é 135 e o sétimo, 3645. Calcule a soma dos 8 primeiros termos. R: 16.400

26 – calcule a soma dos 5 primeiros termos da p.g (?2, ?2, ?2,...).R: 5?2.

27 – calcule a soma dos 10 primeiros termos de uma p.g.constante cujo 1º termo é 10. R: 100

28 – calcule a soma dos 10 primeiros termos da p.g (80, 40, 20,...).R: 5115/32.

29 – Quantos termos da p.g (2, -6, 18, 54, ...) devemos considerar afim de que a soma resulte 9842? R: 9

30 – Um individuo contraiu uma dívida e precisou pagá-la em 8 prestações assim determinadas: 1^aprestação R$ 60,00; 2^a R$ 90,00; 3^a R$ 135,00 e assim por diante. Qual o valor total da divida? R: 2956,00aproximadamente.

31 – Num apiário há seis viveiros. Sendo que no 1º apiário há 3 machos e 2 fêmeas; 2º 6 machos e 6 fêmeas; 3º 12 machos e 18 fêmeas e assim por diante. Supondo que os valores veriam segundo uma p.g. quantas abelhas há no apiário?R: 917

32 – Numa cidade, 3100 jovens alistaram-se para o serviço militar. A junta militar convocou, para exame medico, 3 jovens no 1ºdia, 6 no2º, 12 no 3º e assim por diante. Quantos jovens ainda devem ser convocados para o exame após o 10º dia de convocações?R: 31

33 - A quantidade de proteína presente no organismo de uma pessoa decresce a cada hora, segundo uma p.g. de razão 1/4. Sendo assim o tempo t para que a cafeína presente no organismo caia de 128mg para 1mg é tal que:

a) 0< t< 1 *b) 2< t< 4 c) 0< t< 3,5 d) 3,5< t< 6 e) 6< t<14

34 - Os números que expressam os ângulos de um quadrilátero, estão em progressão geométrica de razão 2. Um desses ângulos mede:
a) 28° b) 32° c) 36° *d) 48° e) 50°

35 - Calcule a soma dos 10 primeiros termos da PG (1,2,4,8,...).Temos: S = 1023.

36 - Sabe-se que S = 9 + 99 + 999 + 9999 + ... + 999... 9 onde a última parcela contém n algarismos. Nestas condições, o valor de 10ⁿ⁺¹ - 9(S + n) é:
A) 1 *B) 10 C) 100 D) –1 E) –10

37 – O valor da dizima 1,8888...é:
*A) 17/9 B) 10134 C) 1/100 D) –34/9 E) –10

38 - Se a soma dos três primeiros termos de uma PG decrescente é 39 e o seu produto é 729 , então sendo a, b e c os três primeiros termos , pede-se calcular o valor de a² + b² + c². R: 819

39 - Interpolando 4 meios geométricos entre –2/9 e x, obtém-se uma p.g. de razão –3. Determine:

a) O valor de x; R: 54

b) o 4º termo dessa p.g.R: 6

40 – Calcule x na P.G(2,x,8,...128,64x,...)