Sequências

Chama-se sequência ou sucessão numérica, a qualquer conjunto ordenado de números reais ou complexos. Assim, por exemplo, o conjunto ordenado A = ( 3, 5, 7, 9, 11, ... , 35) é uma sequência cujo primeiro termo é 3, o segundo termo é 5, o terceiro termo é 7 e assim sucessivamente.

Uma sequência pode ser finita ou infinita. O exemplo dado acima é de uma sequência finita. Já a sequência P = (0, 2, 4, 6, 8, ... ) é infinita.

Uma sequência numérica pode ser representada genericamente na forma: (a₁, a₂, a₃, ... , a_k, ... , a_n, ...) onde a₁ é o primeiro termo, a₂ é o segundo termo, ... , a_k é o k-ésimo termo,... , an é o n-ésimo termo. (Neste caso, k < n).

Por exemplo, na sequência Y = (2, 6, 18, 54, 162, 486, ...) podemos dizer que a₃= 18, a₅= 162, etc.

 

Lei de formação

São de particular interesse, as sequências cujos termos obedecem a uma lei de formação, ou seja, é possível escrever uma relação matemática entre eles.

Assim, na sequência Y acima, podemos observar que cada termo a partir do segundo é igual ao anterior multiplicado por 3.

A lei de formação ou seja a expressão matemática que relaciona entre si os termos da sequência, é denominada termo geral.

Considere por exemplo a sequência S cujo termo geral seja dado por an = 3n + 5, onde n é um número natural não nulo.

Observe que atribuindo-se valores para n, obteremos o termo an (n -ésimo termo) correspondente.
Assim por exemplo, para n = 20, teremos, a_n = 3.20 + 5 = 65, e, portanto o vigésimo termo dessa sequência (a₂₀) é igual a 65. Prosseguindo com esse raciocínio, podemos escrever toda a sequência S que seria: S = ( 8, 11, 14, 17, 20, ... ).

Dado o termo geral de uma sequência, é sempre fácil determiná-la.
Seja por exemplo a sequência de termo geral an = n² + 4n + 10, para n inteiro e positivo.
Nestas condições, podemos concluir que a sequência poderá ser escrita como: (15, 22, 31, 42, 55, 70,... ).
Por exemplo: a₆ = 70, pois a₆ = 62 + 4.6 + 10 = 36 + 24 + 10 = 70.

Conceito de Progressão Aritmética - PA

Chama-se Progressão Aritmética [PA] à toda sequência numérica cujos termos a partir do segundo, são iguais ao anterior somado com um valor constante denominado razão.

Classificação

Crescente, quando r> 0. Exemplo: (1, 5, 9, 13, 17, 21, ... ) razão = 4 (PA crescente)
Decrescente, quando r< 0.Exemplo: ( 100, 90, 80, 70, 60, 50, ... ) razão = -10 (PA decrescente) Constante, quando r = 0. ( 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, ... ) razão = 0 (PA constante)

 

Termo Geral de uma PA

Seja a PA genérica (a₁, a₂, a₃, ... , a_n, ...) de razão r. De acordo com a definição podemos escrever:
a₂ = a₁ + 1.r
a₃ = a₂ + r = (a₁ + r) + r = a₁ + 2r
a₄ = a₃ + r = (a₁ + 2r) + r = a₁ + 3r

.....................................................

a_n = a₁ + (n – 1) . r

Podemos inferir (deduzir) das igualdades acima que: a_n = a₁ + (n – 1) . r
A expressão a_n = a₁ + (n – 1) . r é denominada termo geral da PA.
Nesta fórmula, temos que a_n é o termo de ordem n (n-ésimo termo) , r é a razão e a₁ é o primeiro termo da Progressão Aritmética – PA.

Generalização

Através de um tratamento simples e conveniente da fórmula do termo geral de uma PA, podemos generalizá-la da seguinte forma:

Sendo aj o termo de ordem j (j-ésimo termo) da PA e ak o termo de ordem k ( k-ésimo termo) da PA, poderemos escrever a seguinte fórmula genérica: a_j = a_k + (j – k).r

 

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

 

1 - Qual o milésimo número ímpar positivo?
Temos a PA: ( 1, 3, 5, 7, 9, ... ) onde o primeiro termo a1= 1, a razão r = 2 e queremos calcular o milésimo termo a1000. Nestas condições, n = 1000 e poderemos escrever:
a1000 = a1 + (1000 - 1).2 = 1 + 999.2 = 1 + 1998 = 1999. Portanto, 1999 é o milésimo número ímpar.

 

2 - Qual o número de termos da PA: (100, 98, 96,... , 22) ?
Temos a1 = 100, r = 98 -100 = - 2 e an = 22 e desejamos calcular n.
Substituindo na fórmula do termo geral, fica: 22 = 100 + (n - 1). (- 2) ;
logo, 22 - 100 = - 2n + 2 e, 22 - 100 - 2 = - 2n de onde conclui-se que - 80 = - 2n ,
de onde vem n = 40. Portanto, a PA possui 40 termos.

Exemplos: Se numa PA o quinto termo é 30 e o vigésimo termo é 60, qual a razão?
Temos a5 = 30 e a20 = 60. Pela fórmula anterior, poderemos escrever: a20 = a5 + (20 - 5) . r e substituindo fica: 60 = 30 + (20 - 5). r => 60 - 30 = 15r; logo, r = 2.

Numa PA de razão 5, o vigésimo termo vale 8. Qual o terceiro termo?
Temos r = 5, a20 = 8. Logo, o termo procurado será: a3 = a20 + (3 – 20).5
a3 = 8 –17.5 = 8 – 85 = - 77.

 

6 - Propriedades das Progressões Aritméticas

P-1 - Numa PA, cada termo (a partir do segundo) é a média aritmética dos termos vizinhos deste. Exemplo: PA : ( m, n, r ) ; portanto, n = (m + r) / 2

Assim, se lhe apresentarem um problema de PA do tipo:
Três números estão em PA, ... , a forma mais inteligente de resolver o problema é considerar que a PA é do tipo: (x - r, x, x + r), onde r é a razão da PA.

P-2 - Numa PA, a soma dos termos eqüidistantes dos extremos é constante.

Exemplo: PA : ( m, n, r, s, t); portanto, m + t = n + s = r + r = 2r

Estas propriedades facilitam sobremaneira a solução de problemas.

 

7 - Soma dos n primeiros termos de uma PA

Seja a PA ( a₁, a₂, a₃, ..., a_n-1, a_n). A soma dos n primeiros termos S_n = a₁ + a₂ + a₃ + ... + a_n-1 + a_n , pode ser deduzida facilmente, da aplicação da segunda propriedade acima.

Temos: S_n = a₁ + a₂ + a₃ + ... + a_n-1 + a_n

É claro que também poderemos escrever a igualdade acima como:
S_n = a_n + a_n-1 + ... + a₃ + a₂ + a₁

Somando membro a membro estas duas igualdades, vem:
2.S_n = (a₁ + a_n) + (a₂ + a_n-1) + ... + (a_n + a₁)

Logo, pela segunda propriedade acima, as n parcelas entre parênteses possuem o mesmo valor ( são iguais à soma dos termos extremos a₁ + a_n ) , de onde concluímos inevitavelmente que: 2.S_n = (a₁ + a_n).n , onde n é o número de termos da PA. Daí então, vem finalmente que:

 

Sn = (a1 + a2) . n2

 

8 - Qual é o número mínimo de termos que se deve somar na P.A. :( 7/5 , 1 , 3/5 , ... ) , a partir do primeiro termo, para que a soma seja negativa?
*a) 9

b) 8

c) 7

d) 6

e) 5

Solução:
Temos: a₁ = 7/5 e r = 1 – 7/5 = 5/5 – 7/5 = -2/5, ou seja: r = -2/5.

Poderemos escrever então, para o n-ésimo termo a_n:

a_n = a₁ + (n – 1).r = 7/5 + (n – 1).(-2/5)

a_n = 7/5 – 2n/5 + 2/5 = (7/5 + 2/5) –2n/5 = 9/5 –2n/5 = (9 – 2n)/5

A soma dos n primeiros termos, pela fórmula vista anteriormente será então:
S_n = (a₁ + a_n). (n/2) = [(7/5) + (9 – 2n)/5].(n/2) = [(16 – 2n)/5].(n/2)

S_n = (16n – 2n²) / 10

Ora, nós queremos que a soma Sn seja negativa; logo, vem:

S_n = (16n – 2n²) / 10 < 0

Como o denominador é positivo, para que a fração acima seja negativa, o numerador deve ser negativo.

Logo, deveremos ter:  16n – 2n² < 0. Portanto, n(16 – 2n ) < 0.
Ora, como n é o número de termos, ele é um número inteiro e positivo. Portanto, para que o produto acima seja negativo, deveremos ter:

16 – 2n < 0, de onde vem 16 < 2n ou 2n > 16 ou n > 8.

Como n é um número inteiro positivo, deduzimos imediatamente que n = 9.
Portanto, a alternativa correta é a letra A.

 

9 - As medidas dos lados de um triângulo são expressas por x + 1, 2x , x2 - 5 e estão em P.A. , nesta ordem. O perímetro do triângulo vale:
a) 8

b) 12

c) 15

*d) 24

e) 33

Solução: Ora, se x + 1, 2x , x2 – 5 formam uma P.A. , podemos escrever:
2x – (x + 1) = (x2 – 5) – 2x
2x – x –1 + 5 – x2 + 2x = 0
3x + 4 – x2 = 0

Multiplicando por (-1) ambos os membros da igualdade acima, fica: x2 – 3x – 4 = 0.
Resolvendo a equação do segundo grau acima encontraremos x = 4 ou x = - 1.

Assim, teremos: x = 4: os termos da P.A . serão: x+1, 2x, x2 – 5 ou substituindo o valor de x encontrado: 5, 8, 11, que são as medidas dos lados do triângulo. Portanto, o perímetro do triângulo (soma das medidas dos lados) será igual a 5+8+11 = 24.

O valor negativo de x não serve ao problema, já que levaria a valores negativos para os lados do triângulo, o que é uma impossibilidade matemática, pois as medidas dos lados de um triângulo são necessariamente positivas. Portanto, a alternativa correta é a letra D.

 

10 - UFBA - Numa progressão aritmética, o primeiro termo é 1 e a soma do n-ésimo termo com o número de termos é 2. Calcule a razão dessa progressão.
Solução:
Temos: a1 = 1 e an + n = 2, onde an é o n-ésimo termo.
Fazendo n = 2, vem: a2 + 2 = 2, de onde vem imediatamente que a2 = 0.
Daí, r = a2 – a1 = 0 – 1 = -1, que é a resposta procurada.

11 - UFBA - Um relógio que bate de hora em hora o número de vezes correspondente a cada hora, baterá, de zero às 12 horas x vezes. Calcule o dobro da terça parte de x.
Solução:
Teremos que:
0 hora o relógio baterá 12 vezes. (Você não acha que bateria 0 vezes, não é?).
1 hora o relógio baterá 1 vez
2 horas o relógio baterá 2 vezes
3 horas o relógio baterá 3 vezes
....................................................
12 horas o relógio baterá 12 vezes. Logo, teremos a seguinte sequência: (12, 1, 2, 3, 4, 5, ... , 12)

A partir do segundo termo da sequência acima, temos uma PA de 12 termos, cujo primeiro termo é igual a 1, a razão é 1 e o último termo é 12. Portanto, a soma dos termos desta PA será: S = (1 + 12).(12/2) = 13.6 = 78

A soma procurada será igual ao resultado anterior (a PA acima) mais as 12 batidas da zero hora. Logo, o número x será igual a x = 78 + 12 = 90. Logo, o dobro da terça parte de x será: 2. (90/3) = 2.30 = 60.

 

12 - A soma dos múltiplos positivos de 8 formados por 3 algarismos é:
a) 64376

b) 12846

c) 21286

d) 112

*e) 61376

Solução:
Números com 3 algarismos: de 100 a 999.
Primeiro múltiplo de 8 maior do que 100 = 104 (que é igual a 8x13)
Maior múltiplo de 8 menor do que 999 = 992 (que é igual a 8x124)

Temos então a PA: (104, 112, 120, 128, 136, ... , 992).
Da fórmula do termo geral an = a1 + (n – 1) . r poderemos escrever: 992 = 104 + (n – 1).8, já que a razão da PA é 8.
Daí vem: n = 112

Aplicando a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PA, teremos finalmente:
S_n = S112 = (104 + 992).(112/2) = 61376. A alternativa correta é, portanto, a letra E.

 

13 - Calcule a soma dos 200 primeiros números ímpares positivos.
Temos a PA: ( 1, 3, 5, 7, 9, ... ), precisamos conhecer o valor de a200 .
Mas, a200 = a1 + (200 - 1).r = 1 + 199.2 = 399. Logo, Sn = [(1 + 399). 200] / 2 = 40.000
Portanto, a soma dos duzentos primeiros números ímpares positivos é igual a 40000.

 

14 – Determinar o centésimo termo da progressão aritmética na qual a soma do terceiro termo com o sétimo é igual a 30 e a soma do quarto termo com o nono é igual a 60.

Solução: Podemos escrever:
a3 + a7 = 30
a4 + a9 = 60

Usando a fórmula do termo geral, poderemos escrever:
a1 + 2r + a1 + 6r = 30 ou 2.a1 + 8r = 30
a1 + 3r + a1 + 8r = 60 ou 2.a1 + 11r = 60

Subtraindo membro a membro as duas expressões em negrito, vem: 3r = 30 , de onde concluímos que a razão é igual a r = 10. Substituindo numa das equações em negrito acima, vem: 2.a1 + 8.10 = 30, de onde tiramos a1 = - 25.

Logo, o centésimo termo será: a100 = a1 + 99r = - 25 + 99.10 = 965

 

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

 

1 - UFBA - Considere a P.A. de razão r, dada por (log4, log12, log36,...).Sendo a₂₂ = k, determine 10k + r: 320.

Resposta: 36.

 

2 - Determine três números em PA tais que a soma deles seja 15 e a soma dos seus quadrados sejam 83.

Resposta: 3, 5 e 7.