Os números naturais: o conjunto N
N = {1,2,3,4,5,6, ... , 19,20, ... , 1001, 1002, ... , 10000001, ... }

1.1 - Notas elucidativas: 

a) os números naturais surgiram da necessidade de contagem dos elementos de um conjunto pelo homem primitivo e, neste sentido, o zero ( 0 ) não seria um número natural.

b) por volta do ano 458 DC,  o zero foi introduzido pelos hindus, para representar a coluna vazia dos ábacos, daí sua denominação original de sunya (vazio).

c), no entanto, como o zero atende às propriedades básicas dos números naturais, ele pode ser considerado um número natural, não obstante a premissa contrária não conflitar a teoria. Assim, não deveremos estranhar quando aparecer em provas de vestibulares o conjunto N como sendo, N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ... }, definindo-se um outro conjunto sem o zero: N^* = N - 0 = {1,2,3,4, ... }.

Como esta forma de abordagem é a mais usual, consideraremos o zero como sendo um número natural, no que se segue.

d) o conjunto dos números naturais é infinito.

2 - Propriedades:

2.1 – Todo número natural n, possui um sucessor indicado por suc(n), dado por suc(n) = n + 1.

Exemplo: suc(32) = 32 + 1 = 33.

2.2 – Dados dois números naturais m e n, ocorrerá uma e somente uma das condições :
m = n : m igual a n (igualdade)
m > n : m maior do que n (desigualdade)
m < n : m menor do que n (desigualdade). Esta propriedade é conhecida como Tricotomia.

Nota: Às vezes teremos que recorrer aos símbolos ≥ ou ≤ os quais possuem a seguinte leitura:
a ≥ b : a maior do que b ou a = b.
a ≤ b : a menor do que b ou a = b

Assim por exemplo, x ≤ 3, significa que x poderá assumir em N, os valores 3,2,1 ou 0. 
Já x < 3, teríamos que x seria 2, 1 ou 0.

3 - Operações em N

3.1 – Adição: a + b = a mais b.a + b = a mais b.

3.2 - Propriedades:

Dados os números naturais a, b, c, em N, são válidas as seguintes propriedades:

3.2.1 – Fechamento: a soma de dois números naturais é sempre um número natural. Diz-se então que o conjunto N dos números naturais é fechado em relação à adição.

3.2.2 – Associativa: a + (b + c) = (a + b) + c

3.2.3 – Comutativa: a + b = b + a

3.2.4 – Elemento neutro: a + 0 = 0 + a = a . Zero é o elemento neutro da adição.

3.2.5 – Unívoca: o resultado da adição de dois números naturais é único.

3.2.6 – Monotônica: Uma desigualdade não se altera, se somarmos um mesmo número natural a
ambos os membros, ou seja, se a > b então a + c > b + c.

4 – Subtração:

Observa-se que a subtração (diferença) é uma operação inversa da adição. 
 

Se a + b = c então dizemos que a = c – b (c menos b). É óbvio que o conjunto N não é fechado em relação à subtração, pois a subtração (diferença) entre dois números naturais, nem sempre é um outro número natural. Por exemplo, a operação 3 – 10 não teria resultado no conjunto N dos números naturais. Das seis propriedades do item anterior, verifica-se que a operação subtração possui apenas aquelas dos sub-itens (1.5) e (1.6).

5 – Multiplicação: É um caso particular da adição (soma), pois somando-se um número natural a si próprio n vezes, obteremos: a + a + a + ... + a = a . n = a x n
Na igualdade a.n = b, dizemos que a e n são os fatores e b é o produto.

Propriedades: 5.1 - Dados os números naturais a, b e c, são válidas as seguintes propriedades: 

Distributiva – 5.2.7: a x (b + c) = (a x b) + (a x c).

Monotônica – 5.2.6: a x c > b x c então a > b, ou seja, se número natural: Uma desigualdade não se altera, se multiplicarmos ambos os membros, por um mesmo

Unívoca –5.2.5: o resultado da multiplicação de dois números naturais é único.

Elemento neutro – 5.2.4: a x 1 = 1 x a = a. O número 1 é o elemento neutro da multiplicação.

Comutativa– 5.2.3: a x b = b x a

Associativa: –5.2.2: a x (b x c) = (a x b) x c ou a. (b.c) = (a.b).c

Fechamento – 5.2.1: Dizemos então que o conjunto dos números naturais é fechado em relação à operação de multiplicação.N: a multiplicação de dois números naturais é sempre outro número natural.

6 – Potenciação:

É um caso particular da multiplicação, onde os fatores são iguais. Assim é que multiplicando-se um número natural a por ele mesmo n vezes, obteremos a x a x a x a x ... x a que será indicado pelo símbolo a ⁿ, onde a será denominado base  e n expoente. 
Assim é que, por exemplo, 5³ = 5.5.5 = 125, 7¹ = 7, 4³ = 4.4.4 = 64, etc.

7 – Divisão:

É um caso particular da subtração, senão vejamos: o que significa dividir 17 por 3? Significa descobrir, quantas vezes o número 3 cabe em 17, ou seja: 17 – 3 – 3 – 3 – 3 - 3  e restam 2. Podemos escrever a expressão anterior como:
17 = 5 . 3 + 2. O número 17 é denominado dividendo, o número 3 é denominado divisor, o número 5 é denominado quociente e o número 2 é denominado resto. 
De uma maneira geral, dados os números naturais D, d, q e r, poderemos escrever a relação 
D = d.q + r  com  0 £ r < d. 
Se r = 0, dizemos que a divisão é exata, ou seja, não deixa resto. A demonstração da existência e da unicidade dos números D, d, q e r, pode ser vista nos compêndios de Teoria dos Números e não cabe aqui nestas notas introdutórias. A relação vista acima é conhecida como Teorema de Euclides.

7.1 – Exercícios resolvidos

1 - Dividindo-se o número 245 por um número natural b, obtém-se quociente 5 e resto r. Determine o valor da soma dos valores possíveis para b.

Solução:
Pela exposição anterior, poderemos escrever: 245 = 5.b + r  com 0 ≤ r < b .

Da primeira expressão, tiramos: r = 245 – 5b
Substituindo na segunda, vem: 0 ≤ 245 – 5b < b

Podemos desmembrar a dupla desigualdade acima em duas, a saber:
0 £ 245 – 5b   e   245 – 5b < b

Resolvendo a primeira: 0 ≤ 245 – 5b  5b  £ 245  b £ 49.
Resolvendo a segunda: 245 – 5b < b  245 <  6b    6b > 245 > 40, 83...

Ora, sendo b um número natural  maior do que 40,83 e menor ou igual a 49, vem que os valores possíveis para b serão: 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48 e 49. A soma dos valores possíveis para b será então, S = 41 + 42 + 43 + 44 + 45 + 46 + 47 + 48 + 49 = 405. Resposta: 405

2 - (UNICAMP 1994 – 2ª fase) – A divisão de um certo número inteiro N por 1994 deixa resto 148. Calcule o resto da divisão de N + 2000 pelo mesmo número 1994.

Solução:
Pelo Teorema de Euclides visto acima, poderemos escrever:
N = 1994.q + 148, onde q é o quociente. Analogamente, para N + 2000, teremos:

N + 2000 = 1994.Q + r, onde Q é o novo quociente e r é o novo resto.

Podemos escrever:  N = 1994.Q – 2000 + r
N = 1994.Q – (1994 + 6) + r
N = 1994.Q – 1994 – 6 + r
N = 1994(Q - 1) + r - 6 
N – 1994(Q – 1) - r + 6 = 0
Substituindo o valor de N fica: 1994.q + 148 – 1994(Q – 1) - r + 6 = 0
1994(q – Q +1) + (154 – r) = 0
Ora, sendo Q, q e r naturais, a soma acima será nula, se e somente se ocorrer
q – Q + 1 = 0, ou seja, Q = q + 1   e   154 - r  = 0. 
Como estamos interessados no novo resto r, vem imediatamente que: r = 154.
Outra maneira de resolver o problema, talvez mais simples, seria:

Temos pelo enunciado: N = 1994.q + 148

Adicionando 2000 a ambos os membros, vem:

N + 2000 = 1994.q + 2000 + 148

N + 2000 = 1994.q + 2000 + 148

Decompondo 2000 na soma equivalente 1994 + 6, fica:

N + 2000 = 1994.q + 1994 + 6 + 148

N + 2000 = 1994.(q + 1) + 154
Logo, o novo quociente é q + 1 e o novo resto é igual a 150.

8 – Múltiplo e divisor de um número natural
Dizemos que um número natural n divide um número natural m, quando m: n não deixa resto, ou seja, a divisão é exata. Representamos simbolicamente: n|m. Nestas condições, n é um divisor de m e  m é um múltiplo de n.

Exemplos:
2 divide 16 ou seja, 2|16  porque 16:2 = 8 e resto = zero. Portanto, 2 é divisor de 16 e 16 é múltiplo de 2.

5 divide 35 ou seja, 5|35  porque 35:5 = 7 e resto = zero. Portanto, 5 é divisor de 35 e 35 é múltiplo de 5.
7 divide 105 ou seja, 7|105  porque 105:7 = 15 e resto = zero. Portanto, 7 é divisor de 105 e 105 é múltiplo de 7.

Notas:
a) O conjunto dos divisores naturais de n será representado por D(n).

Exemplos: D(3) = {1,3}; D(20) = {1,2,4,5,10,20}; D(6) = {1,2,3,6}

b) O conjunto dos múltiplos naturais de n será representado por M(n).

Exemplos: M(2) = {0,2, 4, 6, 8, ...}; M(5) = {0,5,10,15, ...}

c) Os múltiplos de 2 são denominados números pares. Os demais números naturais são denominados números ímpares. Assim, denotando por P o conjunto dos números pares e por I o conjunto dos números ímpares, poderemos escrever:

P = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ... }
I = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ... }
 

Observa-se que ambos os conjuntos são infinitos.

9 - Propriedades imediatas:

P1) A unidade (ou seja, o número 1)  divide qualquer número natural ou seja, 1|n, para todo n natural.

P2) Zero não divide nenhum número natural, ou seja, não existe divisão por zero. Imagine se você tivesse que dividir dez objetos por zero pessoas. Claro que isto não seria possível. Grave bem isto: a divisão por zero não existe.

P3) Todo número natural diferente de zero, divide o número zero, ou seja, para n ¹ 0, n | 0, para todo n não nulo.

P4) Todo número natural diferente de zero, divide a si próprio, ou seja, para n ¹ 0, n | n  para todo n não nulo. Esta propriedade é conhecida como propriedade reflexiva.

P5) Sendo m, n e p três números naturais, se m | p  e  p | n  então m | n. Esta propriedade é conhecida com propriedade transitiva.

Exemplo:
2 divide 6 pois 6 : 2 = 3 (divisão exata).
6 divide 42 pois 42 : 6 = 7 (divisão exata). Logo,
2 divide 42. Realmente, 42 :2 = 21 (divisão exata).

P6) Todo número natural não nulo, é múltiplo de si mesmo. Isto decorre da propriedade P4.

P7) Zero é múltiplo de todo número natural não nulo. Isto decorre da propriedade P3.

10 – Número primo e número composto

10.1 - Dizemos que um número natural p diferente de um (p ≠ 1) é primo quando ele só possui dois divisores: ele próprio e a unidade. Caso contrário, o número é composto.

Assim, se o conjunto dos divisores naturais de p, representado por D(p), for igual a D(p) = {1, p}, p é um número primo.
Ora, os divisores de 2, são apenas a unidade (1) e ele mesmo (2). Logo, 2 é um número primo. Portanto, 2 é o único número natural primo que é par.
Sendo A_primo o conjunto dos números primos, poderemos escrever:
A_primo = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 47, 53, 57, 59, 61, ..., 359, ... ,  }. O conjunto dos números primos é infinito.

10.2 - Teorema Fundamental da Aritmética (TFA) - Todo número composto pode ser escrito como um produto de números primos.

Exemplos: 12 = 3.2.2; 15 = 3.5; 49 = 7.7; 105 = 7.5.3; 240 = 2.120 = 2.5.2.2.2.3 = 5.2⁴.3

Na prática, podemos usar o seguinte esquema: Seja o caso de 240 acima. Teremos:

240 |2
120 |2
  60 |2
  30 |2
  15 |3
     5|5
     1|   Então: 240 = 2.2.2.2.3.5 = 2⁴.3.5

A decomposição de um número em fatores primos, é conhecida também como fatoração , já que o número é decomposto em fatores de uma multiplicação. Usando o dispositivo prático acima, vamos fatorar o número 408. Teremos:

Portanto o MDC é igual a 2, ou seja: MDC(4, 10, 14, 60) = 2

O método de decomposição de um número num produto de fatores primos, sugere uma nova forma para o cálculo do MDC de dois números naturais não nulos, a e b, ou seja, para o cálculo de MDC(a,b).

Assim, seja calcular o MDC de 408 e 240.

Como já vimos acima, temos:

408 = 2.2.2.3.17 = 2³.3.17
240 = 2.2.2.2.3.5 = 2⁴.3.5

Tomando os fatores comuns elevados aos menores expoentes, teremos:

MDC(408, 240) = 2³.3 = 8.3 = 24 , que é o MDC procurado.

Portanto, (408, 240) = 24.

O MDC do exemplo anterior, poderia ser também determinado pelo método das divisões sucessivas, cujo dispositivo prático é mostrado a seguir:

Para entender o dispositivo prático acima, basta observar que:

408:240 = 1  com resto 168
240:168 = 1  com resto   72
168:72   = 2  com resto   24
72:24     = 3  com resto zero.

Portanto o MDC procurado é igual a 24, conforme já tínhamos visto antes.

Nota: Se o MDC de dois números naturais a e b for igual à unidade, ou seja, (a,b) = 1, dizemos que a e b são primos entre si, ou que a e b são co-primos. Ou seja: MDC(a, b) = 1  sse a  e  b  são primos entre si (co-primos).

Exemplo: (7, 5) = 1 sse 5 e 7 são primos entre si.

12 – MMC – Mínimo múltiplo comum

Dados dois números naturais a e b não nulos, define-se o mínimo múltiplo comum – MMC, indicado por MMC(a,b) , como sendo o menor natural positivo, múltiplo comum de a e b.

Exemplo: Determine o MMC dos naturais 10 e 14.

Os múltiplo positivos de 10 são: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110, ...
Os múltiplos positivos de 14 são: 14, 28, 42, 56, 70, 84, 98, 112, 126, 140, ...
Portanto, o mínimo múltiplo comum é igual a 70 e, indicamos: MMC(10,14) = 70.

Dos exemplos anteriores, vimos que: MDC(10,14) = 2 e MMC(10,14) = 70.

Observe que: 10.14 = 2.70 = 140 = MDC(10,14) . MMC(10,14).

Pode-se provar que, dados dois números naturais positivos a e b, teremos sempre que o produto desses números é igual ao produto do MDC pelo MMC desses números, ou seja: MDC(a,b) . MMC(a,b) = a . b

Observe que se dois números naturais positivos a e b são primos entre si (co-primos), o MDC entre eles é igual a 1, ou seja (a, b) = 1 e, portanto, teremos:

1.MMC(a,b) = a.b sse MMC(a, b) = a.b, ou seja: O Mínimo Múltiplo Comum – MMC  de dois números primos entre si é igual ao produto deles.

Exemplos:
MMC(3, 5) = 3.5 = 15
MMC(7, 5, 3) = 7.5.3 = 105