1 – Introdução
Os racionais são aqueles que podem ser escritos na forma de uma fração a/b onde a e b são dois números inteiros, com a condição de que b seja diferente de zero, uma vez que sabemos da impossibilidade matemática da divisão por zero.
Vimos também, que todo número racional pode ser escrito na forma de um número decimal periódico, também conhecido como dízima periódica. Vejam os exemplos de números racionais a seguir:
3/4 = 0,75 = 0,750000...
- 2/3 = - 0,666666...
1/3 = 0,333333...
2/1 = 2 = 2,0000...
4/3 = 1,333333...
- 3/2 = - 1,5 = - 1,50000...
0 = 0,000... etc
Existe entretanto, uma outra classe de números que não podem ser escritos na forma de fração a / b , conhecidos como números irracionais , os quais serão abordados de uma forma elementar neste capítulo.
2 – Os números irracionais
Assim como existem as dízimas periódicas, também existem as dízimas não periódicas que são justamente os números irracionais, uma vez que elas nunca poderão ser expressas como uma fração do tipo a / b .
Exemplos de dízimas não periódicas ou números irracionais:
a) 1,01001000100001000001...
b) 3,141592654...
c) 2,7182818272...
d) 6,54504500450004... etc
2.1 - Existem dois tipos de números irracionais: os algébricos e os transcendentes.
Os números irracionais algébricos, são as raízes inexatas dos números racionais, a exemplo de √2, √5, √17, √103,... etc, ou qualquer outra raiz inexata.
2.2 - Já os números irracionais transcendentes complementam aqueles irracionais algébricos, sendo os exemplos mais famosos de números irracionais transcendentes, o número pi, o número de Euler e, cujos valores aproximados com duas decimais são respectivamente 3,14 e 2,72 .
O número pi representa a razão do comprimento de qualquer circunferência dividido pelo diâmetro da mesma circunferência e o número e é a base do sistema de logaritmos neperianos.
2.3 - É interessante comentar, que ao tratarmos na prática, dos números irracionais, deveremos sempre adotar os seus valores aproximados, uma vez que, por serem dízimas não periódicas, os valores adotados serão sempre aproximações.
Um exemplo clássico de não racionalidade de um número é o caso da raiz quadrada de dois.
O valor aproximado da raiz quadrada de dois (√2) é igual a 1,414. Vamos analisar o porquê do número Ö2 não ser racional:
Para isto, vamos utilizar o método da redução ao absurdo, que consiste em negar a tese, e concluir pela negação da hipótese.
Vamos supor inicialmente, por absurdo, que √2 seja um número racional.
Ora, neste caso, e se isto fosse verdadeiro, o número √2 poderia ser escrito na forma de uma fração irredutível a/b, ou seja, com a e b primos entre si, e, portanto, teríamos:
Quadrando ambos os membros da igualdade anterior, teremos: 2 = a2/b2 , de onde tiramos a2 = 2.b2.
Ora, como a2 é o dobro de b2, é correto afirmar que a é um número par.
Sendo a um número par, podemos escreve-lo na forma a = 2k, onde k é um número inteiro. Daí vem que: (2k)2 = 2b2 ou 4k2 = 2b2, de onde tiramos que b2 = 2k2, ou seja, b também é par. Ora, sendo a e b pares, o quociente a/b não seria uma fração irredutível, já que o quociente de dois números pares é outro número par. Vemos portanto que isto nega a hipótese inicial de que a fração a/b seja irredutível, ou seja, de que a e b sejam primos entre si. Logo, concluímos que afirmar que √2 é racional, é falso, ou seja, √2 não é um número racional, e, portanto, √2 é um número irracional.
Nota: dois números inteiros são ditos primos entre si, se o máximo divisor comum (MDC) destes números for igual à unidade, ou seja: MDC(a,b) = 1.
3 – Identificação de números irracionais: Fundamentado nas explanações anteriores, podemos afirmar que:
3.1 – todas as dízimas periódicas são números racionais.
3.2 – todos os números inteiros são racionais.
3.3 – todas as frações ordinárias são números racionais.
3.4 – todas a s dízimas não periódicas são números irracionais.
3.5 – todas as raízes inexatas são números irracionais.
3.6 – a soma de um número racional com um número irracional é sempre um número irracional.
3.7 – a diferença de dois números irracionais, pode ser um número racional.
Exemplo: √5 - √5 = 0 e 0 é um número racional.
3.8 – o quociente de dois números irracionais, pode ser um número racional.
Exemplo: √8: √2 = √4 = 2 e 2 é um número racional.
3.9 – o produto de dois números irracionais, pode ser um número racional.
Exemplo: √5.√5 = √25 = 5 e 5 é um número racional.
3.10 – a união do conjunto dos números irracionais com o conjunto dos números racionais, resulta num conjunto denominado conjunto R dos números reais.
3.11 – a interseção do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais, não possui elementos comuns e, portanto, é igual ao conjunto vazio (∅).
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