Dadas as funções receita total RT(Q) = –Q² + 200Q e custo total CT(Q) = 4.000 + 30Q, para Q variando de 0 a 120 unidades, de uma determinada utilidade:

Solução:

a) Como a função receita total é uma função do segundo grau, cujo gráfico é uma parábola com concavidade voltada para baixo, então seu valor máximo (receita máxima) ocorre no vértice dessa parábola.

Portanto, a quantidade que proporciona receita máxima é dada pela fórmula:

$Q_v = \frac{-b}{2.a}$

Note que, na fórmula acima, o valor que será obtido é referente à coordenada x do vértice (xv).

Na função RT(Q) = –Q² + 200Q, temos a = –1 e b = 200. Portanto, o valor da coordenada Qv é:

$Q_v = \frac{-b}{2.a} =\frac{-200}{2.(-1)} = 100$

O resultado nos diz que o valor máximo de receita ocorre quando a quantidade Q vendida (e produzida) é igual a 100. Caso seja necessário calcular o valor dessa receita máxima, basta substituir Q por 100 na função RT(Q) = –Q² + 200Q e calcular o valor de RT.

 

Pode parecer estranho, mas, de acordo com a função, se a quantidade for maior que 100, a receita começa a diminuir. Isso pode ocorrer na prática, pois há relação entre quantidade e preço e, à medida que a quantidade aumenta, o preço pode cair. E lembre-se de que a receita é obtida pela multiplicação da quantidade pelo preço. Portanto, mesmo a quantidade aumentando, se o preço cair, o valor de receita pode diminuir.

 

d) Os gráficos das funções lucro total, receita total e custo total são apresentados a seguir. As linhas pontilhadas indica o comportamento das funções apresentadas, mas em uma região (domínio) que já não é mais válida para esta aplicação, pois no enunciado há menção de que as funções receita e custo apresentadas, nesse caso, são válidas para Q variando de 0 a 120 unidades.