INTRODUÇÃO

De uma forma simplificada, podemos dizer que a Matemática Financeira é o ramo da Matemática Aplicada que estuda o comportamento do dinheiro no tempo. A Matemática Financeira, pois, busca quantificar as transações que ocorrem no universo financeiro levando em conta a variável tempo, ou seja, o valor monetário no tempo (time value money). As principais variáveis envolvidas no processo de quantificação financeira são: a taxa de juros, o capital e o tempo.

Devemos entender como Juros, a remuneração de um capital aplicado a uma certa taxa, durante um determinado período, ou seja, é o dinheiro pago pelo uso de dinheiro emprestado. Portanto, Juros (J) = preço do crédito. A existência de Juros decorre de vários fatores, entre os quais destacam-se:

inflação: a diminuição do poder aquisitivo da moeda num determinado período de tempo.
risco: os juros produzidos de uma certa forma compensam os possíveis riscos do investimento.

JUROS E MERCADO FINANCEIRO

Normalmente o valor do capital é conhecido como principal (C). A taxa de juro (i), é a relação entre os Juros e o Principal, expressa em relação a uma unidade de tempo.
Assim por exemplo, se os juros anuais correspondentes a uma dívida de R$2000,00 (Principal = C) forem R$200,00 (Juros = J), a taxa de juros anual i será 200/2000 = 0,10 = 10% ao ano. Indica-se: i = 10%a.a. Costuma-se especificar taxas de juros anuais, trimestrais, semestrais, mensais, etc., motivo pelo qual deve-se especificar sempre o período de tempo considerado.

Quando a taxa de juros incide no decorrer do tempo, sempre sobre o capital inicial, dizemos que temos um sistema de capitalização simples (Juros simples). Quando a taxa de juros incide sobre o capital atualizado com os juros do período (montante), dizemos que temos um sistema de capitalização composta (Juros compostos). Na prática, o mercado financeiro utiliza apenas os juros compostos, de crescimento mais rápido (Enquanto os juros simples crescem segundo uma função do 1º grau – crescimento linear, os juros compostos crescem muito mais rapidamente – segundo uma função exponencial).

 

JUROS SIMPLES

No regime de juros simples, os juros incidem sempre sobre o capital inicial. Este sistema não é utilizado na prática nas operações comerciais, mas, a análise desse tema, como introdução à Matemática Financeira, é de uma certa forma, importante.
Considere o capital inicial C aplicado a juros simples de taxa i por período, durante t períodos.
Lembrando que os juros simples incidem sempre sobre o capital inicial, podemos escrever a seguinte fórmula, facilmente demonstrável: J = C . i . t = Cit.

J = juros produzidos depois de t períodos, do capital C aplicado a uma taxa de juros por período igual a i.

 

No final de t períodos, é claro que o capital será igual ao capital inicial adicionado aos juros produzidos no período. O capital inicial adicionado aos juros do período é denominado MONTANTE (M). Logo, teríamos: M = C + J = C + C.i.t = C(1 + i.t). Portanto, M = C(1+it).

Exemplo - 1: A quantia de $3000,00 é aplicada a juros simples de 5% ao mês, durante cinco anos. Calcule o montante ao final dos cinco anos.
Solução: Temos: P = 3000, i = 5% = 5/100 = 0,05 e n = 5 anos = 5.12 = 60 meses.
Portanto, M = 3000(1 + 0,05x60) = 3000(1+3) = $12000,00.

 

A fórmula J = cit, onde c e i são conhecidos, nos leva a concluir pela linearidade da função juros simples, senão vejamos: Façamos C.i = k.

Teremos, J = k.t, onde k é uma constante positiva. (Observe que C . i > 0)
Ora, J = k.t é uma função linear, cujo gráfico é uma semi-reta passando pela origem. (Porque usei o termo semi-reta ao invés de reta?).

Portanto, J/t = k, o que significa que os juros simples J e o número de períodos n, são grandezas diretamente proporcionais. Daí, infere-se que o crescimento dos juros simples obedece a uma função linear, cujo crescimento depende do produto c.i = k, que é o coeficiente angular da semi-reta J = kt.

 

Exemplo – 2: Calcule o montante ao final de dez anos de um capital $10000,00 aplicado à taxa de juros simples de 18% ao semestre (18% a.s). Resposta: $46000,00

 

Importante: Lembre-se sempre que a taxa de juros i e o período t têm de ser referidos à mesma unidade de tempo. Assim, por exemplo se num problema, a taxa de juros for i =12% ao ano = 12/100 = 0,12 e o período t = 36 meses, antes de usar as fórmulas deveremos colocá-las referidas à mesma unidade de tempo, ou seja:
a) 12% ao ano, aplicado durante 36/12 = 3 anos;

b) 1% ao mês = 12%/12, aplicado durante 36 meses, etc.

 

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS:

1 – Quais os juros produzidos pelo capital $12000,00 aplicados a uma taxa de juros simples de 10% ao bimestre durante 5 anos?

Solução:
Temos que expressar i e n em relação à mesma unidade de tempo. Vamos inicialmente trabalhar com BIMESTRE (dois meses): i = 10% a.b. = 10/100 = 0,10
n = 5 anos = 5.6 = 30 bimestres (pois um ano possui 6 bimestres)
Então: J = $12000.0,10.30 = $36000,00

Para confirmar, vamos refazer as contas, expressando o tempo em meses.
Teríamos: i = 10% a.b. = 10/2 = 5% ao mês = 5/100 = 0,05
n = 5 anos = 5.12 = 60 meses. Então: J = $12000,00.0,05.60 = $36000,00

 

2 – Um certo capital é aplicado em regime de juros simples, à uma taxa mensal de 5%. Depois de quanto tempo este capital estará duplicado?

Solução: Temos: M = P(1 + in). Logo, o capital estará duplicado quando M = 2P. Logo, vem:
2P = P(1 + 0,05n); (observe que i = 5% a.m. = 5/100 = 0,05).
Simplificando, fica: 2 = 1 + 0,05n ? 1 = 0,05n, de onde conclui-se n = 20 meses ou 1 ano e oito meses.

 

3 – Calcular os juros simples produzidos por $40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a. , durante 125 dias.

Solução: Temos: j = cit. A taxa de 36% a.a. equivale a 0,36/360 dias = 0,001 a.d.
Agora, como a taxa e o período estão referidos à mesma unidade de tempo, ou seja, dias, poderemos calcular diretamente: j = 40000.0,001.125 = $5000,00

 

4 – Um empréstimo de $8.000,00 rendeu juros de $2.520,00 ao final de 7 meses. Qual a taxa de juros do empréstimo?

Solução: Temos: j = Pin => 2520 = 8000.i.7;
Daí, vem imediatamente que i = 2520 / 8000.7. Então, i = 0,045 a.m = 4,5% a.m.

 

5 –Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. rende $3.500,00 de juros em 75 dias?

Solução: Temos imediatamente: j = cit ou seja: 3500 = c.(1,2/100).(75/30)
Observe que expressamos a taxa i e o período n em relação à mesma unidade de tempo, ou seja, meses. Logo, 3500 = c. 0,012 . 2,5 = c.0,030; Daí, vem: c = 3500 / 0,030 = $116.666,67.

 

6– Por quanto tempo um capital de $11.500,00 foi aplicado para que rendesse $1.725,00 de juros, sabendo-se que a taxa de juros de mercado é de 4,5% a.m.?

Solução: j = cit => 1725 = 11500.(4,5/100).t => 1725 = 11500.0,045.t => t = 3,3333... meses => 3 meses + 0,3333... de um mês = 3 meses + 1/3 de um mês = 3 meses e 10 dias.

 

7 – Que capital produziu um montante de $20.000,00, em 8 anos, a uma taxa de juros simples de 12% a.a.?

Solução: Temos: M = P(1 + in) => 20000 = P.(1 + 0,12.8) = 1,96.P, de onde tiramos P = $10.204,08

 

6 – Calcule o montante resultante da aplicação de $70.000,00 à taxa de 10,5% a.a. durante 145 dias.

Solução: M = P(1 + in) => M = 70000[1 + (10,5/100).(145/360)] = $72.960,42
Observe que expressamos a taxa i e o período n, na mesma unidade de tempo, ou seja, anos. Daí ter dividido 145 dias por 360, para obter o valor equivalente em anos, já que um ano comercial possui 360 dias.

 

8–A que taxa mensal o capital de $38.000,00 produzirá o montante de $70.300,00 em 10 anos?

Solução: M = P(1 + in) => 70300 = 38000.(1 + i.10), de onde vem: 70300/38000 = 1 + 10.i
1,85 - 1 = 10.i, de onde vem: i = 0,85/10 = 0,085 a.a. = 8,5% a.a. Para achar a taxa mensal, basta dividir por 12 meses, ou seja: i = 0,085 / 12 = 0,007083 = 0,7083 % a.m.

 

9–Um capital é aplicado a juros simples de 5% ao semestre (5 % a.s.), durante 45 dias. Após este prazo, foi gerado um montante de $886.265,55. Qual foi o capital aplicado?

Solução: Lembrando que a taxa i e o período n têm de ser expressos relativo à mesma unidade de tempo, vem: 886265,55 = P[1 + (5/100).(45/180)], de onde tiramos P = $875.324,00
Nota: Como a taxa i está relativa ao semestre, dividimos 45 dias por 180 dias, para expressar o período n também em semestre. Lembre-se que 180 dias = 1 semestre.

 

10–Que capital aplicado a 3% ao bimestre (3% a.b.), por um prazo de 75 dias, proporcionou um montante de $650.000,00?

Solução: M = P(1+ in) => 650000 = P[1 + (3/100).(75/60)] , de onde tiramos P = $626.506,02
Nota: observe que dividimos 75 dias por 60 dias, para expressá-lo em bimestres, já que
1 bimestre = 60 dias.

 

11 –Um capital de $5.380,00 aplicado por 3 meses e 18 dias, rendeu $1839,96 de juros ao final do período. Qual a taxa mensal de juros simples?

Solução: j = Pin => 1839,96 = 5380.i.108, pois 3 meses e 18 dias = 3.30 + 18 = 108 dias.
Logo, i = 1839,96 / 5380.108 = 0,003167 a.d. = 0,3167% a.d. Para obter a taxa mensal, basta multiplicar por 30 dias, ou seja: i= 0,3167% a.d. X 30 = 9,5% a.m.

 

12 – Um capital P foi aplicado a juros simples de 15% ao bimestre (15% a.b.), por um prazo de 5 meses e 13 dias e, após este período, o investidor recebeu $10.280,38. Qual o valor P do capital aplicado?

Solução: M = P(1 + in). Temos: 15% a.b. = 0,15 a.b. = 0,15/60 = 0,0025 a.d. = 0,25% a.d. (a.d. = ao dia)
5 meses e 13 dias = 5.30 + 13 = 163 dias. Logo, como i e n estão referidos à mesma unidade de tempo, podemos escrever: 10280,38 = P(1 + 0,0025.163), de onde tiramos P = $ 7.304,00

 

13 –Obteve-se um empréstimo de $10.000,00 , para ser liquidado por $14.675,00 no final de 8 meses e meio. Qual a taxa de juros anual cobrada nessa operação?

Solução: 8 meses e meio = 8.30 + 15 = 255 dias. Teremos, então: M = P(1 + in)
14675 = 10000(1 + i.255), de onde vem: 14675/10000 = 1 + 255.i => 1,4675 = 1 + 255.i => 0,4675 = 255.i
i = 0,001833 a.d. = 0,1833% a.d.
Multiplicando por 360, obteremos a taxa anual: i = 0,001833.360 = 0,66 a.a. Ou expressando em termos de porcentagem, i = 0,66.100 = 66% a.a.

 

14–Em quanto tempo um capital aplicado a 48% a.a. dobra o seu valor?

Solução: M = P(1 + in). Fazendo M = 2P e substituindo os valores conhecidos, vem:

2P = P[1 + (48/100).n]. Simplificando, fica: 2 = 1 + 0,48.n => 1 = 0,48.n, de onde tiramos n = 2,088333... anos. Para obter o período em meses, devemos multiplicar o valor acima por 12 ou seja:
n = 2,088333... x 12 = 25 meses.

 

15–Determinar o capital necessário para produzir um montante de $798.000,00 no final de um ano e meio, aplicado a uma taxa de 15% ao trimestre (15% a.t.).

Solução: M = P(1 + in). Temos: n = 1 ano e meio = 18 meses = 18/3 = 6 trimestres. Portanto:
798000 = P[1 + (15/100) . 6], de onde tiramos P = $420.000,00

 

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1 – Um certo capital é aplicado em regime de juros simples, à uma taxa anual de 10%. Depois de quanto tempo este capital estará triplicado? Resp: 20 anos.

2 - 3/5 de um capital foi aplicado por 8 meses a uma taxa de juros simples de 18% ao ano e, o restante a 15% ao ano, pelo mesmo período. Sabendo-se que estas aplicações renderam R$ 168,00 de juros no período, podemos afirmar que o capital aplicado foi igual a:

A) R$ 1200,00 B) R$ 1300,00 C) R$ 1400,00 *D) R$ 1500,00 E) R$ 1600,00

3 –Qual o montante acumulado a partir da aplicação de $2895,00 a 3,5% ao mês durante 3 anos e meio?Resposta: $12277,70

4 –Investindo-se mensalmente $150,00 durante 6 anos e um trimestre, a 6% ao mês, qual o valor acumulado ao final do período? Resposta: $198200,00

5 – Uma dívida de $1000,00 deve ser quitada em 12 parcelas mensais, à taxa de juros de 3% ao mês. Determine o valor de cada prestação.Resposta: $100,50

6 – Quanto deveremos depositar trimestralmente numa conta que rende 6% ao trimestre, para termos $22800,00 ao final de 105 meses?Resposta: $203,00