Definição: Uma função f:R→R chama-se quadrática quando existem três números reais a, b e c tal que f(x) = ax² + bx + c, com a ≠ 0.

Exemplos:

f(x) = x² - 2x + 1 (a = 1 , b = -2 , c = 1);
y = -x² (a = -1 , b = 0 , c = 0).

y = -2x^{2 +} 2x (a = -2 , b = 2 , c = 0)

y = -(1/2)x² – 1/4 (a = -1/2 , b = 0 , c = 1/4)

 

Zeros da função: chama-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau, os números reais x tais que f(x) = 0. Então as raízes da função f(x) = ax² + bx + c, são as soluções da equação do 2º grau ax² + bx + c = 0, as quais são dadas pela chamada fórmula de Bhaskara:

$$\begin{gathered} \Delta = b^2 - 4.a.c \\ x = \frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2.a} \\ {x}_1 = \frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2.a} \\ {x}_2 = \frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2.a} \end{gathered}$$

 

Exemplo: Vamos calcular as raízes da função f(x) = x² - 2x + 1.

f(x) = 0 => x² - 2x + 1 = 0

Primeiro vamos calcular o valor de ?.

Δ =b² – 4.a.c

Δ = (-2)² – 4.1.1

Δ = 4 – 4 = 0

Sabemos que: x = (-b±√Δ)/2.a

x = (-2±√0)/2.1 = (-2±0)/2

x₁ = x₂ = -2/2 = 1

Portanto a raiz da função é 1.

Propriedades do gráfico de y = ax² + bx + c

1) O gráfico da função do 2º grau é sempre uma parábola de eixo vertical.

2) se a > 0 a parábola tem um ponto de mínimo e a concavidade é voltada para cima;
3) se a < 0 a parábola tem um ponto de máximo e a concavidade é voltada para baixo;
4) o vértice da parábola é o ponto V(x_v , y_v) onde: V(x_v = - b/2a; y_v = - Δ/4a), onde Δ = b² – 4ac;
5) a parábola intercepta (corta) o eixo dos x nos pontos de abcissas x' e x'', que são as raízes da equação ax² + bx + c = 0;
6) a parábola intercepta o eixo dos y no ponto (0 , c);
7) o eixo de simetria da parábola é uma reta vertical de equação x_v = - b/2a;
8) y_max = -Δ/ 4a ( a ≠ 0 ) e y_min = -Δ/4a (a ≠ 0);
9) Im(f) = {y∈R; y < -Δ/4a} (a ≠ 0) ou Im(f) = {y∈R; y > -Δ/4a} (a≠0);
10) Forma fatorada: sendo x₁ e x₂ as raízes da de f(x) = ax² + bx + c, então ela pode ser escrita na forma fatorada a seguir: y = a (x - x₁).(x – x₂);

 

Propriedades

Se Δ < 0 ⇒ Não há raízes reais.
a < 0	a > 0
Se Δ = 0 ⇒ Duas raízes reais e iguais.
a < 0	a > 0
Se Δ > 0 ⇒ Duas raízes reais e diferentes
a > 0	a < 0

Reconhecimento gráfico

O gráfico da função y = ax² é uma Parábola com vértice (ponto extremo)

na origem, tendo para eixo de simetria o próprio eixo y.

 

Se a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima.

Se a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo.

A abertura da parábola é tanto maior quanto mais próximo de zero for o valor de a.

 

Valor Máximo
Se a < 0, o vértice é o ponto mais alto do gráfico. Enquanto x varia de -∞ a +∞, y varia de -∞ a yv. Portanto, o maior valor que o trinômio y = ax2 + bx + c pode assumir é yv = - Δ/4a. Isso acontece quando x é igual a xv = -b/2a.

 

Valor Mínimo
Se a > 0, o vértice é o ponto mais baixo do gráfico. Enquanto x varia de -∞ a +∞, y varia de yv a +∞. Portanto, o menor valor que o trinômio y = ax2 + bx + c pode assumir é yv = - Δ/4a. Isso acontece quando x é igual a xv = -b/2a.

Construção da Parábola: É possível construir o gráfico de uma função do 2º grau sem montar a tabela de pares (x, y), conforme mostrado abaixo:

1 – O valor do coeficiente a define a concavidade da parábola;

2 – Os zeros definem os pontos em que a parábola intercepta o eixo dos x;

3 – O vértice V(-b/2a, -Δ/4a) indica o ponto de mínimo (se a > 0), ou máximo (se a< 0);

4 – Para x = 0 , temos y = a · 0² + b · 0 + c = c; então (0, c) é o ponto em que a parábola corta o eixo dos y.

5 – A reta, paralela ao eixo dos y, que passa por V, é o eixo de simetria da parábola;

6 – Agora basta construir a parabola;

 

Exercício Resolvido:

 

1 – Construa o gráfico da função f(x)= -x² – x + 6.

Solução:

A) Como a < 0, a concavidade é voltada para baixo;

B) Vamos calcular os zeros da função:

$$\begin{gathered} x = \frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2.a}, \Delta = b^2 - 4.a.c \\ \Delta = {(-1)}^2 - 4.(-1).6 = 25 \\ x = \frac{-(-1)\pm \sqrt{25}}{2.(-1)} = \frac{1\pm 5}{-2} \\ {x}_1 = \frac{1 + 5}{-2} = \frac{6}{-2} = -3 \\ {x}_2 = \frac{1 - 5}{-2} = \frac{-4}{-2} = 2 \end{gathered}$$

Vamos marcar no gráfico os pares (-3,0) e (2,0);

 

C) Vamos calcular o vértice:

$$\begin{gathered} x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-1)}{2.(-1)} = -\frac{1}{2} \\ {y}_v = \frac{-\Delta }{4.a} = \frac{-25}{4.(-1)} = \frac{25}{4} \end{gathered}$$
 

Vamos marcar no gráfico o par

$V\left(-\frac{1}{2},\frac{25}{4}\right)$

 

D) Vamos calcular f(0): f(0) = -0² – 0 + 6 = 6

Vamos marcar no gráfico o par (0,6);

 

E) Agora basta construir a parabola:

 

2 – Com relação à função f(x) = 3x² – 5x + m² – 9, sabe-se que f(0) = 0. Calcule o valor de m.

Solução: f(0) = 0, então, x = 0 e y = 0. A função f(x) = 3x² – 5x + m² – 9 pode ser escrita assim: y = 3x² – 5x + m² – 9, agora basta fazer as substituições:
f(x) = 3x² – 5x + m² – 9
f(0) = 3.0² – 5.0 + m² – 9
0 = m² – 9
m² = 9
m = √9
m = – 3 ou + 3