MÓDULO (OU VALOR ABSOLUTO) DE UM NÚMERO

O módulo (ou valor absoluto) de um número real x, que se indica por |x| é definido da seguinte maneira:

Se x é positivo ou zero, |x| é igual ao próprio x. Exemplos: |2| = 2; |1/2| = |1/2|; |15| = 15

Se x é negativo, |x| é igual a -x. Exemplos: |-2| = -(-2) = 2; |-20| = -(-20) = 20.

O módulo de um número real é sempre positivo ou nulo. O módulo de um número real nunca é negativo.

 

REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA

Representando geometricamente, o módulo de um número real x é igual a distância do ponto que representa, na reta real, o número x ao ponto 0 de origem. Assim:

Se | x | < a (com a > 0) significa que a distância entre x e a origem é menor que a, isto é, x deve estar entre –a e a, ou seja, | x | < a ⇔ -a < x < a

Se | x | > a (com a > 0) significa que a distância entre x e a origem é maior que a, isto é, deve estar à direita de a ou à esquerda de –a na reta real, ou seja: | x | > a ⇔ x > a ou x < -a.

 

EQUAÇÕES MODULARES

 

Toda a equação que contiver a incógnita em um módulo num dos membros será chamada equação modular.

Exemplos: | x²-5x | = 1; | x+8 | = | x²-3 |.

 

Mais Exemplos:

1 - Resolver a equação | x² - 5x | = 6.

 

Solução: Temos que analisar dois casos: caso 1: x² - 5x = 6 caso 2: x² - 5x = -6

Resolvendo o caso 1: x²-5x-6 = 0 => x’=6 e x’’=-1.

Resolvendo o caso 2: x²-5x+6 = 0 => x’=3 e x’’=2. Resposta: S={-1,2,3,6}

 

2 - Resolver a equação | x - 6 | = | 3 - 2x |.

Resolução: Temos que analisar dois casos:

caso 1: x-6 = 3-2x

caso 2: x-6 = -(3 - 2x)

Resolvendo o caso 1:

x - 6 = 3 - 2x

x+2x = 3+6

3x = 9

x = 3

Resolvendo o caso 2:

x-6 = -(3 - 2x)

x - 2x = -3 + 6

-x = 3

x = -3.

Resposta: S={-3,3}

 

INEQUAÇÕES MODULARES

 

Chamamos de inequações modulares as inequações nos quais aparecem módulos de expressões que contém a incógnita.

 

Exemplos:

1 - Resolver a inequação |-2x+6| < 2. S = {x ∈ IR | 2 < x < 4}

 

2 - Dê o conjunto solução da equação |x² - 2x + 3| ≤ 4.

 

Solução: |x²-2x+3| ≤ 4 => -4 ≤ x²-2x+3≤ 4.

Então temos duais inequações (que devem ser satisfeitas ao mesmo tempo):

Eq.1: -4 ≤ x² - 2x + 3 e

Eq.2: x² - 2x + 3 ≤ 4.

Resolvendo a Eq.1:

-4 ≤ x² - 2x + 3

-4 - 3 ≤ x² - 2x

-7 ≤ x² - 2x

x² - 2x + 7 ≤ 0 (sem raízes reais).

Resolvendo a Eq.2:

x² - 2x + 3 ≤ 4

x² - 2x - 1 ≤ 0

 

MÓDULO E RAIZ QUADRADA

Consideremos os números reais x e y. Temos por definição, que y = √x. se e somente se, y² = x e y ≥ 0. Daí podemos concluir que: só é verdadeiro se x ≥ 0.

Se tivermos x < 0, não podemos afirmar que √x² = x pois isso contradiz a definição.

Por exemplo, se x = -3, teríamos:√(-3)² = -3. O que é um absurdo, pois o primeiro membro é positivo e o segundo negativo.

Usando a definição de módulo, podemos escrever: √x² = |x| o que é verdadeiro para todo x real.

 

Devemos proceder da mesma forma em relação a todas raízes de índice par:

⁴√x⁴ = |x|, ⁶√x⁶ = |x|, ²ⁿ√x²ⁿ = |x|, com x ∈ IR e n ∈ IN

 

Com relação às raízes de índice ímpar, podemos escrever:

³√x³ = x, ⁵√x⁵ = x, ²ⁿ⁺¹√x²ⁿ⁺¹ = x, com x ∈ IR e n ∈ IN

 

FUNÇÃO MODULAR

 

Chamamos de função modular a função f(x) = |x| definida por:

f(x) = x; se x ≥ 0 e

f(x) = -x; x < 0;

Observe, então, que a função modular é uma função definida por duas sentenças.

 

Determinação do domínio: Vamos determinar o domínio de algumas funções utilizando inequações modulares:

 

Exemplo 1: Determinar o domínio da função 1/(|x| - 3)

 

Solução: Sabemos que 1/(|x| - 3) só é possível em IR se |x|-3≠0.

Então, |x|-3≠0 => |x| ≠ 3 => x≠3 ou x≠-3.

S = {x ∈ IR / x ≠ 3 ou x ≠ -3}

 

Exemplo 2: Determinar o domínio da função f(x) = √(2 -|x - 1|).

Solução: Sabemos que 2 - |x - 1| deve ser maior ou igual a zero.

Então, 2 - |x - 1| ≥ 0 => -| x - 1 |≥ -2 => | x - 1 | ≥ 2.

Pela definição: -2 ≤ x-1 ≤ 2. Daí, 1 -2 ≤ x ≤ 2 +1 ⇒ -1 ≤ x ≤ 3.

S = {x ∈ IR / -1 ≤ x ≤ 3}

 

REPRESENTAÇÃO GRÁFICA

 

Vamos construir o gráfico da função f(x) = |x|:

x	-1	-2	0	1	2
y = f(x)	1	2	0	1	2

 

Agora construa o gráfico das funções f(x) = |x – 2|+1 e f(x) = |x + 1|- 2

Observações:

Pode-se notar no gráfico 1 que o gráfico se desloca para a direita quando somamos -2 unidades a x e desloca-se para cima quando somamos +1 ao |x - 2|.

Já no gráfico 2, ao somarmos +1 a x o gráfico desloca-se para a esquerda e desloca-se para baixo quando somamos -2 ao |x + 1|.

 

GENERALIZANDO

 

O gráfico de uma função g(x) = |x| + k é congruente ao de f(x) = |x|, porém transladado para cima (quando k > 0) ou para baixo (quando k < 0) . O número de unidades do deslocamento é o valor absoluto de k.

 

O gráfico de uma função h(x) = |x+ m| é congruente ao de f(x) = |x|, porém transladado para a direita (quando m > 0) ou para a esquerda (quando m < 0) . O número de unidades do deslocamento é o valor absoluto de m.

 

O gráfico de uma função p(x) = |x - m| + k é congruente ao de f(x) = |x|, porém transladado para a direita ou para a esquerda (m > 0 ou m < 0) e para cima ou para baixo (k > 0 ou k < 0) . O número de unidades dos deslocamentos são os valores absolutos de m e k, respectivamente.

 

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

 

1 – Determine o valor de:

 

a) |x – 2| + |x – 6|

b) |x – 2| + |x – 6|, com x∈|R

c) |x – 3| - |x – 5|, com x∈|R

d) |x – 1| + |x – 4|, com 1 < x < 4

e) |x – 2| + |x – 5|, com x > 4

f) |x – 2| +|x – 1|, com x >2

 

2 – Construa o gráfico das funções:

 

a) f(x) = |x – 3| + 1

b) f(x) = |x + 1| – 3

c) f(x) = | x |

d) f(x) = |x + 2| – 1

e) f(x) = |x² + 1| – 3

f) f(x) = |x² + x|

g) f(x) = |x² + 1| – x

h) f(x) = |x² + 1 – 3x|

i) f(x) = |x²| + |1 – x|

j) f(x) = |x| + 1 – 2x²

l) f(x) = |x + 5| – 8

m) f(x) = |x + x²|