Introdução - O conceito de logaritmo foi introduzido pelo matemático escocês John Napier (1550-1617) e aperfeiçoado pelo inglês Henry Briggs (1561-1630). A descoberta dos logaritmos deveu-se, sobretudo à grande necessidade de simplificar os cálculos excessivamente trabalhosos para a época, principalmente na área da astronomia, entre outras. Através dos logaritmos, pode-se transformar as operações de multiplicação em soma, de divisão em subtração, entre outras transformações possíveis, facilitando sobremaneira os cálculos. Na verdade, a idéia de logaritmo é muito simples, e pode-se dizer que o nome logaritmo é uma nova denominação para expoente, conforme veremos a seguir. Assim, por exemplo, como sabemos que 42 = 16, onde 4 é a base, 2 o expoente e 16 a potência, na linguagem dos logaritmos, diremos que 2 é o logaritmo de 16 na base 4. Simples, não é?
Nestas condições, escrevemos simbolicamente: log416 = 2.
Mais exemplos:
152 = 225, logo: log15 225 = 2
63 = 216, logo: log6 216 = 3
54 = 625, logo: log5625 = 4
70 = 1, logo: log71 = 0
152 = 225, logo: log15 225 = 2
63 = 216, logo: log6 216 = 3
54 = 625, logo: log5625 = 4
70 = 1, logo: log71 = 0
Quando a base do sistema de logaritmos é igual a 10 , usamos a expressão logaritmo decimal e na representação simbólica escrevemos somente logb ao invés de log10b. Assim é que quando escrevemos logb = x, devemos concluir pelo que foi exposto, que 10x = b.
Logaritmos Neperiano - Existe também um sistema de logaritmos chamado neperiano (em homenagem a John Napier - matemático escocês do século XVI, inventor dos logaritmos), cuja base é o número irracional e = 2,7183... e indicamos este logaritmo pelo símbolo ln. Assim, logeM = ln M. Este sistema de logaritmos, também conhecido como sistema de logaritmos naturais, tem grande aplicação no estudo de diversos fenômenos da natureza.
Exemplos:
a) log100 = 2 porque 102 = 100.
b) log1000 = 3 porque 103 = 1000.
c) log2 = 0,3010 porque 100,3010 = 2.
d) log3 = 0,4771 porque 100,4771 = 3.
e) ln e = 1 porque e1 = e = 2,7183...
f) ln 7 = loge7
a) log100 = 2 porque 102 = 100.
b) log1000 = 3 porque 103 = 1000.
c) log2 = 0,3010 porque 100,3010 = 2.
d) log3 = 0,4771 porque 100,4771 = 3.
e) ln e = 1 porque e1 = e = 2,7183...
f) ln 7 = loge7
Os logaritmos decimais (base 10) normalmente são números decimais onde a parte inteira é denominada característica e a parte decimal é denominada mantissa.
Assim por exemplo, sendo log20 = 1,3010, 1 é a característica e 0,3010 a mantissa.
As mantissas dos logaritmos decimais são tabeladas. Consultando a tábua de logaritmo (qualquer livro de Matemática traz), podemos escrever por exemplo que log45 = 1,6532. As tábuas de logaritmos decimais foram desenvolvidas por Henry Briggs, matemático inglês do século XVI. Observe que do fato de termos log45 = 1,6532, podemos concluir pela definição de logaritmo que 101,6532 = 45.
As mantissas dos logaritmos decimais são tabeladas. Consultando a tábua de logaritmo (qualquer livro de Matemática traz), podemos escrever por exemplo que log45 = 1,6532. As tábuas de logaritmos decimais foram desenvolvidas por Henry Briggs, matemático inglês do século XVI. Observe que do fato de termos log45 = 1,6532, podemos concluir pela definição de logaritmo que 101,6532 = 45.
Da definição de logaritmo, infere-se (conclui-se) que somente os números reais positivos possuem logaritmo. Assim, não têm sentido as expressões log3(-9), log20, etc.
É fácil demonstrar as seguintes propriedades imediatas dos logaritmos, todas decorrentes da definição:
P1) O logaritmo da unidade em qualquer base é nulo, ou seja:loga1 = 0 porque a0 = 1.
P2) O logaritmo da base é sempre igual a 1, ou seja: logbb = 1 , porque b1 = b.
P3) logaak = k, porque ak = ak.
P4) Se logab = logac então podemos concluir que b = c. Esta propriedade é muito utilizada na solução de exercícios envolvendo equações onde aparecem logaritmos (equações logarítmicas).
P5) alogab = b ou seja: a elevado ao logaritmo de b na base a é igual a b.
Propriedades operatórias dos logaritmos
P1 - Logaritmo de um produto
O logaritmo de um produto é igual a soma dos logaritmos dos fatores, ou seja:
loga(b.c) = logab + logac
loga(b.c) = logab + logac
Exemplo: log20 =log(2.10) = log2 + log10 = 0,3010 + 1 = 1,3010. Observe que como a base não foi especificada, sabemos que ela é igual a 10.
P2 - Logaritmo de um quociente
O logaritmo de uma fração ordinária é igual a diferença entre os logaritmos do numerador da fração e do denominador, ou seja: loga(b/c) = logab – logac.
Exemplo: log0,02 = log(2/100) = log2 - log100 = 0,3010 - 2,0000 = -1,6990. Do exposto anteriormente, podemos concluir que, sendo log0,02 = -1,6990 então 10-1,6990 = 0,02.
Da mesma forma podemos exemplificar:
log5 = log(10/2) = log10 - log2 = 1 - 0,3010 = 0,6990.
log5 = log(10/2) = log10 - log2 = 1 - 0,3010 = 0,6990.
Chamamos de cologaritmo de um número positivo b numa base a, ao logaritmo do inverso multiplicativo de N, também na base b. Ou seja:
cologab = loga(1/b) = loga1 – logab = 0 – logab = - logab. (menos log de b na base a).
Exemplo: colog10 = -log10 = -1.
P3 - Logaritmo de uma potência
Temos a seguinte fórmula, facilmente demonstrável: logabk = k.logab.
Exemplo: log5256 = 6.log525 = 6.2 = 12.
Exemplo: log5256 = 6.log525 = 6.2 = 12.
P3.1 - Temos a seguinte fórmula: logak b = 1/k.logab
Exemplo: log16 4 = log424 = (½).log4 4 = ½.
P4 - Mudança de base: Às vezes, para a solução de problemas, temos necessidade de mudar a base de um sistema de logaritmos, ou seja, conhecemos o logaritmo de N na base b e desejamos obter o logaritmo de N numa base a . Esta mudança de base, muito importante na solução de exercícios, poderá ser feita de acordo com a fórmula a seguir, cuja demonstração não apresenta dificuldades, aplicando-se os conhecimentos aqui expostos.
Loga b = logcb/logca
Exemplos:
a) log416 = log216 / log24 (2 = 4:2)
b) log864 = log264 / log28 (2 = 6:3)
c) log25125 = log5125 / log525 = 3 / 2 = 1,5. Temos então que 251,5 = 125.
a) log416 = log216 / log24 (2 = 4:2)
b) log864 = log264 / log28 (2 = 6:3)
c) log25125 = log5125 / log525 = 3 / 2 = 1,5. Temos então que 251,5 = 125.
Na resolução de problemas, é sempre muito mais conveniente mudar um log de uma base maior para uma base menor, pois isto simplifica os cálculos.
Duas consequências importantes da fórmula de mudança de base são as seguintes:
a) logab = logb / loga (usando a base comum 10, que não precisa ser indicada).
b) logab . logba = 1
a) logab = logb / loga (usando a base comum 10, que não precisa ser indicada).
b) logab . logba = 1
Exemplos:
a) log37 . log73 = 1
b) log23 = log3 / log2 = 0,4771 / 0,3010 = 1,5850
a) log37 . log73 = 1
b) log23 = log3 / log2 = 0,4771 / 0,3010 = 1,5850
A função logarítmica
Considere a função y = ax, denominada função exponencial, onde a base a é um número positivo e diferente de 1, definida para todo x real.
Observe que nestas condições, ax é um número positivo, para todo x ∈ R, onde R é o conjunto dos números reais.
Denotando o conjunto dos números reais positivos por R+* , poderemos escrever a função exponencial como segue: f: R → R+*; y = ax , 0 < a ≠ 1
Esta função é bijetora, pois:
a) É injetora, ou seja: elementos distintos possuem imagens distintas.
b) É sobrejetora, pois o conjunto imagem coincide com o seu contradomínio.
a) É injetora, ou seja: elementos distintos possuem imagens distintas.
b) É sobrejetora, pois o conjunto imagem coincide com o seu contradomínio.
Assim sendo, a função exponencial é bijetora e, portanto, é uma função inversível, ou seja, admite uma função inversa.
Vamos determinar a função inversa da função y = ax , onde 0 < a ≠ 1.
Permutando x por y, vem: x = ay => y = logax
Permutando x por y, vem: x = ay => y = logax
Portanto, a função logarítmica é então: f: R+* → R ; y = logax , 0 < a ≠ 1.
Mostramos a seguir, os gráficos das funções exponencial (y = ax) e logarítmica (y = logax), para os casos a > 1 e 0 < a ≠ 1. Observe que, sendo as funções, inversas, os seus gráficos são curvas simétricas em relação à bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes, ou seja, simétricos em relação à reta y = x.
 |
 |
Da simples observação dos gráficos acima, podemos concluir que:
1 - para a > 1, as funções exponencial e logarítmica são crescentes.
2 - para 0 < a ≠ 1, elas são decrescentes.
3 - o domínio da função y = logax é o conjunto R+* .
4 - o conjunto imagem da função y =logax é o conjunto R dos números reais.
5 - o domínio da função y = ax é o conjunto R dos números reais.
6 - o conjunto imagem da função y = ax é o conjunto R+* .
7 - observe que o domínio da função exponencial é igual ao conjunto imagem da função logarítmica e que o domínio da função logarítmica é igual ao conjunto imagem da função exponencial. Isto ocorre porque as funções são inversas entre si.
2 - para 0 < a ≠ 1, elas são decrescentes.
3 - o domínio da função y = logax é o conjunto R+* .
4 - o conjunto imagem da função y =logax é o conjunto R dos números reais.
5 - o domínio da função y = ax é o conjunto R dos números reais.
6 - o conjunto imagem da função y = ax é o conjunto R+* .
7 - observe que o domínio da função exponencial é igual ao conjunto imagem da função logarítmica e que o domínio da função logarítmica é igual ao conjunto imagem da função exponencial. Isto ocorre porque as funções são inversas entre si.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1 - Se S é a soma das raízes da equação log2 x - logx - 2 = 0, então calcule o valor de 1073 - 10S.
Solução:
Façamos logx = y; vem: y2 - y - 2 = 0
Resolvendo a equação do segundo grau acima, encontramos: y = 2 ou y = -1.
Portanto, logx = 2 ou logx = -1
Façamos logx = y; vem: y2 - y - 2 = 0
Resolvendo a equação do segundo grau acima, encontramos: y = 2 ou y = -1.
Portanto, logx = 2 ou logx = -1
Como a base é igual a 10, teremos: log10x = 2 ? x = 102 = 100 ? log10x = -1 ? x = 10-1 = 1/10
As raízes procuradas são, então, 100 e 1/10.
Conforme enunciado do problema, teremos: S = 100 + 1/10 = 1000/10 + 1/10 = 1001/10
Logo, o valor de 1073 - 10S será: 1073 - 10(1001/10) = 1073 - 1001 = 72
2 - Calcule o valor de y = 6x onde x = log32 . log63 .
Solução:
Substituindo o valor de x, vem: y = 6log32 . log63 = (6log63)log32 = 3log32 = 2
Na solução acima, empregamos a propriedade blogbM = M , vista anteriormente.
Substituindo o valor de x, vem: y = 6log32 . log63 = (6log63)log32 = 3log32 = 2
Na solução acima, empregamos a propriedade blogbM = M , vista anteriormente.
3 - UEFS - Sendo log 2 = 0,301, o número de algarismos de 520 é:
a) 13 *b) 14 c) 19 d) 20 e) 27
a) 13 *b) 14 c) 19 d) 20 e) 27
Solução:
Seja n = 520 . Podemos escrever, usando logaritmo decimal: log n = log 520 = 20.log5
Seja n = 520 . Podemos escrever, usando logaritmo decimal: log n = log 520 = 20.log5
Para calcular o valor do logaritmo decimal de 5, ou seja, log5, basta lembrar que podemos escrever: log 5 = log (10/2) = log 10 - log 2 = 1 - 0,301 = 0,699
Portanto, log n = 20. 0,699 = 13,9800
Da teoria vista acima, sabemos que se log n = 13, 9800, isto significa que a característica do log decimal vale 13 e, portanto, o número n possui 13 + 1, ou seja, 14 algarismos.
Da teoria vista acima, sabemos que se log n = 13, 9800, isto significa que a característica do log decimal vale 13 e, portanto, o número n possui 13 + 1, ou seja, 14 algarismos.
4 - UFBA - Considere a equação 10x + 0,4658 = 368. Sabendo-se que log 3,68 = 0,5658 , calcule 10x.
Solução:
Temos: 10x + 0,4658 = 368
Daí, podemos escrever: log 368 = x + 0,4658 ? x = log 368 - 0,4658
Temos: 10x + 0,4658 = 368
Daí, podemos escrever: log 368 = x + 0,4658 ? x = log 368 - 0,4658
É dado que: log 3,68 = 0,5658, ou seja: log(368/100) = 0,5658
Logo, log 368 - log 100 = 0,5658 ? log 368 - 2 = 0,5658 , já que log 100 = 2 (pois 102 = 100).
Daí, vem então: log 368 = 2,5658
Então, x = log 368 - 0,4658 = 2,5658 - 0,4658 = 2,1
Como o problema pede o valor de 10x, vem: 10.2,1 = 21
Como o problema pede o valor de 10x, vem: 10.2,1 = 21
5 - Se log b = 2 + log 2 - log 3 - 2log 5 , calcule o valor de 30b.
Solução:
Podemos escrever:
logb = 2 + log2 - log3 - log52
logb = 2 + log2 - log3 - log25
logb = 2 + log2 - (log3 + log25)
Como 2 = log100, fica:
logb = (log100 + log2) - (log3 + log25)
logb = log(100.2) - log(3.25)
logb = log200 - log75
logb = log(200/75)
Podemos escrever:
logb = 2 + log2 - log3 - log52
logb = 2 + log2 - log3 - log25
logb = 2 + log2 - (log3 + log25)
Como 2 = log100, fica:
logb = (log100 + log2) - (log3 + log25)
logb = log(100.2) - log(3.25)
logb = log200 - log75
logb = log(200/75)
Logo, concluímos que N = 200/75
Simplificando, fica:
N = 40/15 = 8/3. Logo, 30N = 30(8/3) = 80
Simplificando, fica:
N = 40/15 = 8/3. Logo, 30N = 30(8/3) = 80
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1 - UFBA - Sendo log2 = 0,301 e x = 53. 4√4000 , então o logx é:
*a) 2,997 b) 3,398 c) 3,633 d) 4,398 e) 5,097
2 - UEFS - O produto das raízes da equação log(x2 -7x + 14) = 2log2 é:
01) 5 02) 7 *03) 10 04) 14 05) 35
3 - UCSal - Se 12n+1 = 3n+1 . 8 , então log2 n é igual a:
a) –2 *b) –1 c) ½ d) 1 e) 2
a) –2 *b) –1 c) ½ d) 1 e) 2
4 - UEFS - O domínio da função y = log [(2x-3)/(4-x)] é:
a) (-3/2,4) b) (-4,3/2) c) (-4,2) *d) (3/2,4) e) (3/2,10)
5 - UFBA - Determine o valor de x que satisfaz à equação log2 (x-3) + log2 (x-2) = 1. Resp: 4
6 - UFBA - Existe um número x diferente de 10, tal que o dobro do seu logaritmo decimal excede de duas unidades o logaritmo decimal de x-9. Determine x. Resp: 90
7 - PUC-SP - O logaritmo, em uma base x, do número y = 5 + x/2 é 2. Então x é igual a:
a) 3/2 b) 4/3 c) 2 d)5 *e) 5/2
a) 3/2 b) 4/3 c) 2 d)5 *e) 5/2
8 - PUC-SP - Se x+y = 20 e x - y = 5 , então log(x2 - y2 ) é igual a:
a) 100 *b) 2 c) 25 d) 12,5 e) 1000
Sugestão: observe que x2 - y2 = (x - y) (x + y)
9 – Calcule o valor de Log25 + log26 – log210. R: log23
10 – o valor de logab + logac – logad é:
a) loga b+c b) loga cbd c) logc bd d) logcb + logca e) loga cb/d
11 – Expressão y = loga a2√bc/d é equivalente a:
a) 1/2( logab + logac) – logad + 2 b) logabc + logad c) logaac - logad d) 1/2(loga dc)2
e) 1/2 log d
12 - O domínio da função y = log [(2x-6)/(5-x)] é
a) (-3,-5) b) (3,5) c) (-4,2) *d) (2,4) e) (3,-5)
13 - Se log b = 2 + log 2 - log 3 - 2log 5 , calcule o valor de 30b. R: 80
14 - Calcule o valor de y = 6x onde x = log36 . log65
15 - Se S é a soma das raízes da equação log2x - logx - 2 = 0, então calcule o valor de 1073 - 10S. R: 72
16 - Sendo log 2 = 0,301, o número de algarismos de 520 é:
a) 13 *b) 14 c) 19 d) 20 e) 27
a) 13 *b) 14 c) 19 d) 20 e) 27
17 – Qual o valor de xlogxx.x - 4 = 12. R:±4
18 - O produto das raízes da equação log(x2 -8x + 12) = log2 20 é:
01) 5 02) 7 03) 14 *04) -14 05) 35
01) 5 02) 7 03) 14 *04) -14 05) 35
19 - Se T é o produto das raízes da equação log2 x - 4 = 0, então calcule o valor de T3. R: 64.
20 - Se P é a soma das raízes da equação (2log x)2 – 4logx = 0, então calcule o valor de P3. R: 64.
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