Definição:

Dada uma função f de A em B, o conjunto A chama-se domínio e B contradomínio da função.

Quando associa-se cada x de A o elemento y de B chama-se imagem de x pela função f e lê-se f de x. Assim f(x) = y.

O conjunto que contem todos os y é chamado conjunto imagem da função e indicado por Im(f), onde Im(f) sempre está contida em B.

Exemplo 1: Dados os conjuntos A ={0,1,2,3} e B ={0,1,2,3,4,5} e a função f:A em B que transforma x de A em (x + 1) de B.

Vamos relacionar os elementos de A aos de B: f(0) = 0 + 1 = 1; f(1) = 1 + 1 = 2; f(2) = 2 + 1 = 3; f(3) = 3 + 1 = 4. Daí temos que Im(f) = {1,2,3,4}, pode-se facilmente observar que Im(f) é um subconjunto de B.

Mostrar o domínio das seguintes funções:

Exemplo 2: f(x) = 1/x. O valor de 1/x não existe para x = 0, pois não existe divisão por zero. Mas para x≠0, 1/x sempre existe e é único (inverso de x). Portanto D(f) = R _– .

Exemplo 3: f(x) = √(3-x). O valor de √(3-x) só existe se 3 - x ≥ 0, pois, em R não existe raiz quadrada de número negativo. Daí x ≤ 3. Para x ≤ 3, f(x) existe e é único, pois é a raiz de um número real maior ou igual a zero.

Observações:

1 - O domínio é composto por todos os números reais que podem ser colocados no lugar de x em f(x) = y, de modo que y seja um número real.

2 - Para que exista uma função f , são necessários dois conjuntos A e B e uma lei y = f(x) que a defina, ou seja: f: A em B; y = f (x). Portanto, quando nos referimos a y = f(x) como sendo a própria função, estamos na verdade cometendo um abuso de linguagem, pois estamos confundindo a função com a lei que a define. Outro aspecto a ser considerado é que dada uma função, o seu domínio já existe implicitamente.

Perguntar qual o domínio de uma função, é também um abuso de linguagem. Contudo, estas formas de expressão são tradicionalmente aceitas pelo uso, não se constituindo em propriamente um erro.

3 - É conveniente, entretanto que se tenha isto em mente. No entanto, perguntar qual o conjunto imagem de uma função, não se constitui em abuso de linguagem, pois, normalmente, as funções são definidas por uma lei – f(x) – e por dois conjuntos A e B onde B é o seu contradomínio. Aliás, é conveniente registrar que quando o conjunto imagem de uma função coincide com o seu contradomínio, ela recebe a denominação especial de função sobrejetora.

Exercícios respondidos

1) y = 1 + √x

Solução: A raiz quadrada de x é um número real, se e somente se, x for positivo ou nulo, vemos que a condição de existência para y é que x ≥ 0. Portanto, o domínio da função dada será D = {x ∈ R ; x ≥ 0} = R+ (conjunto dos números reais não negativos).

Para determinar o conjunto imagem, temos que achar os valores possíveis para y. Teremos então: y – 1 = √x. Como a raiz quadrada de um número real positivo ou nulo é outro número positivo ou nulo, deveremos ter y – 1 ≥ 0 ou y ≥ 1. Portanto, o conjunto imagem da função é I={y ∈ R; y ≥ 1} = [1, ∞ ) ou seja, o conjunto dos números reais maiores ou iguais a 1.

2) y = 3 + √(x – 5).

Solução: A condição de existência para y é que x – 5 ≥ 0 ou seja, x ≥ 5. O domínio da função dada será. D = {x ∈ R ; x ≥ 5} = [5 , ∞).

Para determinar o conjunto imagem, temos que achar os valores possíveis para y.

Teremos então: y – 3 = √(x – 5 ). Como a raiz quadrada de um número real positivo ou nulo é outro número positivo ou nulo, deveremos ter y – 3 ≥ 0 ou y ≥ 3. Im = {y ∈ R; y ≥ 3} = [3,∞).

3 ) y = 2 + √(– x ).

Solução: A condição de existência para y é que – x ≥ 0. Multiplicando ambos os membros dessa desigualdade por (– 1), ela muda de sentido, ou seja, x ≤ 0. Portanto, o domínio da função será. D = {x ∈ R ; x ≤ 0} = R– (conjunto dos números reais não positivos).

Para determinar o conjunto imagem, temos que achar os valores possíveis para y.
Teremos então: y – 2 = √(– x). Como a raiz quadrada de um número real positivo ou nulo é outro número positivo ou nulo, deveremos ter y – 2 ≥ 0 ou y ≥ 2. Im = {y ∈ R; y ≥ 2} = [2,∞).

4 ) y = x / (2x – 6).

Solução: A condição para a existência de y é que o denominador 2x – 6 seja diferente de zero, já que não existe divisão por zero. Portanto, 2x – 6 ≠0 ou seja, x ≠3 . Portanto, o domínio desta função é D = {x ∈ R; x ≠ 3} = R – , ou seja, o conjunto de todos os números reais diferentes de 3.

Para determinar o conjunto imagem, temos que achar os valores possíveis para y. Vamos então, explicitar x em função de y. Teremos: De y = x/(2x – 6), poderemos escrever: y(2x – 6) = x . Efetuando as operações, vem: 2xy – 6y = x/2xy – x = 6y/x(2y – 1) = 6y/x = 6y/(2y – 1). Ora, como não existe divisão por zero, deveremos ter 2y – 1 ≠ 0, ou seja, 2y ≠ 1 e, finalmente, y ≠ 1/2. Portanto, o conjunto imagem da função dada é: Im = {y ∈ R; y ≠ 1/2} = R – {1/2}, ou seja, o conjunto de todos os números reais diferentes de ½.

5 ) y = √(x – 1) + √(5 – x).

Solução: As condições para a existência de y são: x – 1 ≥ 0 e 5 – x ≥ 0 ⇒ x ≥ 1 e x ≤ 5 o que é o mesmo que 1 ≤ x ≤ 5, ou seja, o domínio da função é D = {x∈R; 1≤x≤5 } = [1, 5] (intervalo fechado dos números reais de 1 a 5).

Para determinar o conjunto imagem, teremos que achar os valores possíveis para y.
Como x pode variar em R (conjunto dos números reais) de 1 até 5, poderemos substituir alguns valores inteiros de x na expressão: y = √(x – 1) + √(5 – x) e observar o que acontece com os valores de y. Sendo assim:
x = 1 ⇒ y = √(1 – 1) + √(5 – 1) = 0 + 2 = 2
x = 2 ⇒ y = √(2 – 1) + √(5 – 2) = 1 + √3 ≈ 1 + 1,732 ≈ 2,732
x = 3 ⇒ y = √(3 – 1) + √(5 – 3) = 2.√2 = 2√2 ≈ 2.1,414 ≈ 2,818
x = 4 ⇒ y = √(4 – 1) + √(5 – 4) = √3 + 1 ≈ 1,732 + 1≈ 2,732
x = 5 ⇒ y = √(5 – 1) + √(5 – 5) = 2 + 0 = 2

Observe que para x inteiro de 1 a 5, y variou de 2 até voltar novamente a 2, passando pelo valor máximo 2,818... = 2√2. Portanto, o conjunto imagem desta função é Im = {y∈R ; 2 ≤ y ≤ 2√2} = [2, 2√2], ou seja, o intervalo fechado de números reais de 2 a 2√2.

Observação: Como existe uma quantidade infinita de números reais entre 1 e 5 pegamos só os inteiros. Mas é claro que sendo x um número real, ele assume também valores não inteiros, os quais não utilizamos acima, pois complicaria os cálculos, desnecessariamente.