A divisão de um número não nulo por zero e a divisão de zero por zero têm naturezas bastante distintas, pois, a divisão a/0 (a ≠ 0) é indefinida ou impossível entre os números.

Já a divisão 0/0 é indeterminada.

 

Pelo Algoritmo da Divisão Euclidiana, dados dois inteiros a e b, b ≠ 0, existe um único par de inteiros q e r tais que a = q.b + r, com 0 ≤ r < |b| (r = 0 ⇔ b|a), onde q e r são chamados de quociente e resto, respectivamente.

1° caso (a ≠ 0): Como 0|a, então ∃! c ∈ Z, tal que a = 0.c = 0 (contradição), pois, a ≠ 0. 

2° caso (a = 0): Como 0|0, então ∃! c ∈ Z, tal que 0 = 0.c (contradição), pois, quebra a unicidade. 

 

Observando ambos os casos acima, notamos que no primeiro não conseguiremos exprimir um número diferente de zero que satisfaça a igualdade, por isso dizemos que a divisão é indefinida.

Já no segundo, a contradição decorre da quebra do Algoritmo da Divisão Euclidiana, pois se 2|4 então existe um número c que satisfaz a seguinte igualdade: 4 = 2.c, nos reportando a conhecimentos básicos concluiremos que c = 2 e que não pode haver outro valor que satisfaça essa igualdade (unicidade).